La Conjetura De Fermat

La conjetura de Fermat
Felipe Zald´ ıvar
Departamento de Matem´ticas a Universidad Aut´noma Metropolitana-I o 09340 M´xico, D.F. e M´xico e fzc@xanum.uam.mx

La historia de la conjetura de Fermat, a veces tambi´n conocida coe mo el ultimo teorema de Fermat, ha sido contada tantas veces que es ´ tentador omitir esta parte. Sin embargo lo irresistible de esta historia es la suposici´n de quePierre de Fermat (1601-1665) tuvo alguna vez o una demostraci´n del teorema que luego se perdi´ con el transcurso o o del tiempo porque nunca la public´. Esta historia, muy posiblemente o ap´crifa, ha contribuido sin duda a la popularidad de esta conjetura, o aunada tambi´n a la aparente simplicidad de su formulaci´n. Lo cierto e o de esta historia es que comienza con la nota que escribi´ Fermat enun o margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto. Este ejemplar con las anotaciones de Fermat se ha perdido y s´lo conocemos de su o existencia por la publicaci´n de una edici´n de la Arithmetica por Sao o muel de Fermat, hijo de Pierre de Fermat, y en esta edici´n el hijo de o Fermat transcribi´ la nota de su padre bajo los textos griego y latino o de la pregunta 8 del libro 2 deDiofanto. Esta nota dice textualmente: Observatio Domini Petri de Fermat. Cubum autem in duos cubos, aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere: cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet. O, en nuestro rudo espa˜ ol: n ´ ˜ Observacion del Senor Pierre deFermat. Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia mayor que la 25

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segunda en dos potencias similares. He descubierto una demostraci´n o verdaderamente maravillosa de esto, pero este margen es demasiado peque˜ o y no cabe. n En notaci´n matem´tica esta conjetura es: si n ≥ 3 es un entero,o a entonces la ecuaci´n xn + y n = z n no tiene soluciones enteras con o x, y, z = 0. Introducci´n. En este art´ o ıculo, bosquejaremos para un p´ blico intereu sado, algunas ideas involucradas en la demostraci´n reciente de la cono jetura de Fermat. Comenzamos con algunas consideraciones hist´ricas o relevantes para despu´s introducir los conceptos necesarios de curvas en e general, enfatizandoel caso de curvas el´ ıpticas por el papel relevante que juegan en la demostraci´n de la conjetura de Fermat, despu´s reo e cordamos algunas generalidades sobre problemas diofantinos de nuevo concentr´ndonos en el caso de curvas el´ a ıpticas, en particular explicando los conceptos relacionados con la reducci´n m´dulo un primo de curvas o o el´ ıpticas y el de curvas el´ ıpticas semiestables;tambi´n se recuerdan las e ideas relativas a la acci´n de Galois sobre una curva y sobre sus puntos o de torsi´n. Finalmente se introducen algunas ideas sobre formas moo dulares para culminar con la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Al final se discuten algunas ideas sobre la demostraci´n de la conjetura de o Fermat usando todos los conceptos introducidos previamente. Un poco de historia. La notamarginal trascrita arriba estaba junto a la pregunta VIII del libro 2 de la Arithmetica de Diofanto. Esta pregunta trata del caso de las ternas pitag´ricas: la ecuaci´n x2 +y 2 = z 2 o o es la f´rmula de Pit´goras que relaciona los catetos con la hipotenusa o a de un tri´ngulo rect´ngulo. Siglos antes de Diofanto, desde la ´poca de a a e Euclides, ya se sab´ de la existencia de una infinidad deenteros no ıa nulos que satisfacen la ecuaci´n pitag´rica. Es obvio tambi´n que para o o e n = 1, la ecuaci´n x + y = z tiene una infinidad de soluciones enteras: o la suma de dos enteros x, y es otro entero z. El salto cualitativo de n = 1 y 2 al caso n ≥ 3, donde la conjetura de Fermat afirma que no se tienen soluciones enteras con los x, y, z tales que xyz = 0, es bastante sorprendente. Fermat mismo...