La conjetura de poincare

La conjetura de Poincar´ e
Jos´ Luis T´bara e a

Introducci´n o Homolog´ ıa Homotop´ ıa Dimensiones superiores Thurston y la geometr´ ıa El flujo de Ricci Bibliograf´ ıa

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Introducci´n o
El problema fundamental de la topolog´ es el de la clasificaci´n: dar criıa o terios necesarios y suficientes para que dos espacios sean homeomorfos. Dos espacios topol´gicoshomeomorfos son, bajo el punto de vista topol´gico, o o exactamente iguales. El programa as´ descrito es enormemente ambicioso y ı totalmente intratable, al menos en el momento actual. Aunque no tenemos propiedades ni invariantes adecuados para saber si dos espacios son homeomorfos, al menos tenemos bastantes criterios para afirmar que dos espacios no pueden equivalentes. Por ejemplo, si un espacio escompacto, no puede ser homeomorfo a otro espacio que no lo sea, debido a que la compacidad es una propiedad que se conserva por aplicaciones continuas. Lo mismo se puede decir de pr´cticamente todos los conceptos que se estudian en la rama a de las matem´ticas conocida como Topolog´ General. a ıa Como la clasificaci´n completa de los espacios topol´gicos es inviable, o o debemos restringirnos a una clasem´s “selecta” de espacios: estudiaremos a unicamente las variedades topol´gicas de dimensi´n finita. Estos espacios se ´ o o pueden construir “pegando” abiertos de un espacio eucl´ ıdeo. Si los abiertos considerados son de dimensi´n n, decimos que la variedad es de dimensi´n n. o o En algunas variedades puede ser necesario recurrir a infinitos abiertos o a abiertos con “volumen” infinito. Peroincluso la clasificaci´n completa de las o variedades no parece posible que sea realizada en la actualidad. Debemos imponer alg´n criterio que implique de alguna manera la finitud. Lo m´s u a natural es considerar las variedades compactas. Estas se obtienen pegando un n´mero finito de abiertos, cada uno de los cuales tiene un volumen finito. u Adem´s se puede suponer que las variedades son conexas, puestoque las a componentes conexas de cualquier variedad se pueden estudiar por separado. Proponemos entonces el siguiente problema: Clasificar todas las variedades compactas y conexas de dimensi´n o finita El caso de la dimensi´n cero es trivial. La unica variedad es el punto. El o ´ caso unidimensional tambi´n es sencillo: toda variedad conexa y compacta e de dimensi´n 1 es homeomorfa al c´ o ırculo.Las cosas empiezan a ponerse interesantes en dimensi´n 2. Este problema es equivalente al estudio de o las superficies finitas sin bordes. En el siglo xix se obtuvo la clasificaci´n o completa. Teorema. Toda superficie compacta tiene un n´mero natural asociado, u llamado g´nero. Dos superficies son homeomorfas si y solo si tienen el mismo e g´nero. e 1

La superficie m´s sencilla es la esfera, quetiene g´nero cero. El toro tiene a e g´nero 1 y la figura e

tiene g´nero dos. En general una superficie de g´nero n es una figura similar e e pero con n agujeros. Intuitivamente el g´nero mide el n´mero de agujeros e u que presenta la superficie. La clasificaci´n completa de las variedades tridimensionales se conoce coo mo “programa de Thurston”. Todo el programa de clasificaci´n, que posteo riormentecomentaremos, se apoya en una piedra angular, que es la conjetura de Poincar´. Expresada en un lenguaje vulgar dice: e Si una variedad tridimensional es “sencilla” entonces es (equivalente) a la esfera S 3

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Homolog´ ıa
Anteriormente hemos hablado de variedad “sencilla”. ¿Pero que entendemos por sencilla? Para situarnos haremos una analog´ con el caso bidimenıa sional. Una variedad sencillaser´ para nosotros una variedad sin agujeros. a Debemos estudiar entonces una teor´ que de alguna manera sea capaz de ıa estudiar los agujeros n-dimensionales. Esa fu´ la idea de Poincar´. La genee e ralizaci´n que se le ocurri´ a Poincar´ fue la teor´ de la homolog´ La idea o o e ıa ıa. que subyace en la teor´ de la homolog´ es el estudio de las subvariedades y ıa ıa sus fronteras. Por...