LA RECTA

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES

LA RECTA

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .



ECUACIONES DE LA RECTA

 Ecuación con pendiente y ordenada al origen.
Ecuación con punto y pendiente.
Ecuación general de la recta
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
El término independiente, b, se llama ordenada en elorigen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo. Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa ydecrece al crecer el ángulo.

EJERCICIOS RESUELTOS
1) Obténgase la ecuación de la recta que pasa por P (2,3) y tiene una inclinación de 45°.
PRIMER PASO: Obtener la pendiente de la recta.
m = tan 45° = 1 :. m = 1
SEGUNDO PASO: Aplicar la fórmula de la recta-pendiente, donde x1 = 2, y1 = 3, m =1 y realizando operaciones:
y - y1 = m (x - x1)
y - 3 = 1 (x - 2)
y - 3 = x - 2
x - y – 2 + 3= 0
Ecuación general

Despejando y
y = x + 1





2) Pasa por Q (5,-2) y de pendiente igual a -2.
Aplicar la fórmula de la recta-pendiente con x1 = 5, y1 = -2, m = -2 y realizando operaciones.
y- y1 = m (x - x1)
y - (-2) = -2(x - 5)
y + 2 = -2x + 10
2x + y + 2 – 10 = 0
Ecuación general

Despejando y
y = - 2x + 8


3) Tiene una pendiente igual a -3 y ordenada al origen igual a -2/3.
Aplicar laecuación pendiente y ordenada al origen, con m = -3, b = -2/3 y realizando operaciones.
y - y1 = m (x - x1)
y = mx + b
y = -3x - 2/3
(3x + y + 2/3 = 0)3
9x + 3y + 2 = 0
Despejando y
y = (- 9x – 2) / 3


4) Pasa por el punto P (-4,1) y forma con x’x un ángulo tal que α= arc. tan 5.
PRIMER PASO: Obtener la pendiente de la recta.
m = tan α
tan a = 5, entonces m = 5
SEGUNDO PASO: Aplicar la fórmulade la recta-pendiente donde x1 = -4, y1 = 1, m = 5 y realizando operaciones.

y - y1 = m (x - x1)
y - 1 = 5 (x + 4)
y - 1 = 5x + 20
5x - y + 1 + 20 = 0


Despejando y
y = 5x + 21






5) Pasa por el punto P (3/5, -7) y de pendiente cero.

Aplicar la ecuación pendiente y ordenada al origen con, x = 5/3, b = -7, m = 0 y realizando operaciones.

y = mx + b
y = 0 (5/3) - 7



LA RECTA
TODAECUACION DE PRIMER GRADO CON LAS VARIABLES “X”, “Y” QUE ESTEN SUMANDO O RESTANDO REPRESENTA UNA RECTA.
EJEMPLOS:
EN GENERAL: AX+BY=C DONDE A, B, C SON NUMEROS REALES.

2.- PARA GRAFICAR LAS ECUACIONES ANTERIORES PODEMOS:
a).- HACER UNA TABULACION DANDOLE VALORES A LA “X” Y LUEGO CALCULANDO LOS DE “Y”, EN ESTE CASO CON DOS VALORES ES SUFICIENTE, YA QUE UNA RECTA SE DEFINE CONOCIENDO DOS DESUS PUNTOS.
2X+Y=6
SI X=-1 2(-1)+Y=6 -2+Y=6 Y=2+6 Y=8 UN PUNTO A= (-1; 8)
SI X=2 2(2)+Y=6 4+Y=6 Y=6-4 Y=2 UN PUNTO B= (2; 2)
GRAFICANDO LOS PUNTOS Y UNIENDO OBTENEMOS LA RECTA.










b).- OTRA FORMA DE GRAFICAR UNA RECTA ES CALCULAR LAS INTERSECCIONES O CRUCES CON LOS EJES.
PARA ESTO, SI QUEREMOS CONOCER EL VALOR DE “X” DONDE LA RECTA CORTA AESE EJE, HACEMOS Y=0 (TODOS LOS PUNTOS SOBRE EL EJE “X” TIENEN Y=0).
POR OTRO LADO SI QUEREMOS CONOCER EN QUE VALOR DE “Y” LA RECTA CORTA A ESE EJE, HACEMOS X=0

PARA EL CRUCE CON “X” HACER Y=0 ;
PARA EL CRUCE CON “Y” HACER X=0 ;









3.- ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMPLIFICADA.





DESPEJANDO LA “Y” DE LA ECUACION
ENTONCES b= 6 Y LA RECTA CORTA AL EJE “Y” EN Y=6 YTENIENDO UNA PENDIENTE


AHORA PARA GRAFICAR MEDIMOS A PARTIR DE Y=6 DOS UNIDADES HACIA ABAJO (-2) Y LUEGO 1 A LA DERECHA (+1),
O BIEN:
A PARTIR DE “b” (Y=6) 2 HACIA ARRIBA (+2) Y 1 A LA IZQUIERDA (-1).
UNIENDO b=6 CON EL FINAL DE ESTE TRAZO OBTENEMOS LA GRAFICA DE LA RECTA.











4.- ECUACION DE LA RECTA A POYADA EN DOS PUNTOS.
PODEMOS CONOCER DOS PUNTOS POR DONDE PASA UNA RECTA...