Libro de Calculo Multivariable

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

´
CALCULO DIFERENCIAL
EN VARIAS VARIABLES

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Julio 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en GruposCentro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Pr´logo
o

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la primera parte del curso de
An´lisis II de la Licenciatura en Matem´tica de la Universidad Central de Venezuela y son
a
a
el resultado de la experiencia de los autores en el dictado dedicho curso.
En este curso se debe dar una visi´n rigurosa del c´lculo en varias variables. Se supone
o
a
que el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´lculo en una variable, que domina
a
la topolog´ b´sica de la recta y que ha visto un curso introductorio de c´lculo en varias
ıa a
a
variables.
Los siguientes temas son tratados en forma exhaustiva:
(1) Rn como espacio m´trico:
eM´tricas. Ejemplos, bolas, esferas, di´metro.
e
a
Conjuntos abiertos, vecindades. Conjuntos cerrados.
M´tricas equivalentes.
e
Conjuntos densos. Separabilidad. Bases. L´
ımites. Sucesiones de Cauchy. Completitud. Compacidad.
(2) L´
ımites y continuidad de funciones de Rn en Rm .
(3) Derivadas en Rn , derivadas parciales y direccionales, gradiente.
Funciones compuestas y la regla de lacadena.
Teorema del valor medio. Aplicaciones geom´tricas, planos tangentes.
e
Derivadas de orden superior. F´rmula de Taylor.
o
Teoremas de la funci´n impl´
o
ıcita y de la funci´n inversa.
o
Extremos, multiplicadores de Lagrange.
Tanto el trabajo de mecanograf´ como la elaboraci´n de los gr´ficos estuvo a cargo de
ıa
o
a
los autores. Agradecemos cualquier observaci´n o comentarioque deseen hacernos llegar.
o
Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Julio 2005.

iii

Contenido
Cap´
ıtulo 1.

El espacio m´trico Rn .
e

1

1. Nociones b´sicas de espacios vectoriales. Producto interno. Norma.
a

1

2. Definici´n de espacio m´trico. Ejemplos. Bolas. Di´metro.
o
e
a

4

3. Sucesiones.

6

4. Completitud.

9

5. Abiertos, cerrados, densidad,frontera, m´tricas equivalentes.
e

10

6. Funciones continuas.

14

7. Compacidad en Rn .

15

8. Espacios topol´gicos.
o

16

Ejercicios 1.

19

Cap´
ıtulo 2. Funciones de Rn en Rm .

25

1. Conceptos B´sicos.
a

25

2. L´
ımites.

31

3. Continuidad.

39

4. Funciones continuas en conjuntos compactos.

40

5. Transformaciones lineales y matrices.42

Ejercicios 2.

45

Cap´
ıtulo 3. Bases del c´lculo diferencial en varias variables.
a

51

1. El diferencial.

51

2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables.

59

3. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano.

61

4. Funciones compuestas y la regla de la cadena.

62

5. Plano Tangente.

65

6. Derivadas direccionales.

67

7.Direcci´n de m´ximo crecimiento.
o
a

69

8. Teorema del valor medio.

70

9. Desarrollo de Taylor.

72
v

vi

CONTENIDO

10. C´lculos aproximados y errores.
a

77

11. M´ximos y m´
a
ınimos.

78

Ejercicios 3.

85

Cap´
ıtulo 4. El teorema de la funci´n impl´
o
ıcita.

95

1. El teorema del punto fijo.

95

2. El caso de una variable.

96

3. Algunasconsecuencias del teorema del valor medio.

103

4. Teorema de la funci´n inversa.
o

105

5. Funciones definidas impl´
ıcitamente.

111

6. Teorema de la Funci´n Impl´
o
ıcita.

115

7. Introducci´n al concepto de superficie.
o

118

8. Multiplicadores de Lagrange.

125

Ejercicios 4.

133

Bibliograf´
ıa

139

´
Indice

141

CAP´
ITULO 1

El espacio...