limite

1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 1 Para Ingeniería
Cristián Burgos Gutiérrez

Guía N°5: Límite y Continuidad
Ejercicios Resueltos:

1. Calcule los siguientes límites:
x2 − 2x + 1
x→1
x3 − x

(a) lim

Solución:

tenemos

Si evaluamos directamente nos encontramos con una indeterminación de tipo ( 0 ) , arreglando
0
x2 − 2x + 1
x→1
x3 − xx−1
lim
x→1 x(x + 1)
lim

√

(b) lim

x→0

=

0

De manera análoga
√
lim

x→0

√
1 + x2 − 1
1 + x2 + 1
·√
x
1 + x2 + 1
= lim

x→0

x→1

(x − 1)2
x→1 x(x − 1)(x + 1)
lim

1 + x2 − 1
x

Solución:

(c) lim

=

√
3

x

√

=

x2
1 + x2 + 1

=

1 + x2 − 1
√
x→0 x
1 + x2 + 1
lim

lim √

x→0

x
=0
1 + x2 + 1

√
7 + x3 − 3 + x2
x−1Solución:

arreglando conveniéntemente la expresión mediante la separación de dos radicales diferentes tenemos
√
7 + x3 − 3 + x2
lim
x→1
x−1
√
√
3
3−2
7+x
3 + x2 − 2
−
x−1
x−1

√
3

√
3

= lim

x→1

=
=

√

3 + x2 + 2 − 2
x→1
x−1
√
√
3
3−2
7+x
3 + x2 − 2
lim
− lim
x→1
x→1
x−1
x−1
lim

7 + x3 −

Racionalizando en forma separada ambos casostenemos
√
3
=
=

=

lim

x→1

7 + x3 − 2
·
x−1

lim

x→1

(x − 1)
3

3

√
3

(7 + x3 )2 + 2 7 + x3 + 4

x2 − 1
√
x→1 (x − 1)
3 + x2 + 2

− lim

x2 + x + 1
x+1
3
2
1
√
− lim √
=
− =−
2+2
3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
x→1
3·4 4
4
3+x
(7 + x

(1 + mx)n − (1 + nx)m
x→0
x2

(d) lim

3

√
√
√
(7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
3 + x2 − 2
3 + x2 + 2
√
− lim·√
3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
x→1
x−1
3 + x2 + 2
(7 + x

x3 − 1

lim

x→1

3

2

Solución:

Usando el Binomio de Newton
n

(1 + mx)n − (1 + nx)m
x→0
x2

=

lim

lim

n
(mx)k −
k

k=0

m
(nx)k
k

k=0

x2

x→0

 n(n−1)
=

m

lim 

2

m2 x2 + ... + mn xn −

m(m−1) 2 2
n x
2

+ ... + nm xm



x2



n(n − 1)m2
+ .. + mn xn−2 −x→0
2
nm(n − m)
=
2

m(m − 1)n2
+ .. + nm xm−2
2

=

x→0

lim

xn+1 − (n + 1)x + n
x→1
(x − 1)2

(e) lim

Solución:

Haciendo el cambio u = x − 1 se puede ver que si x → 1 ⇒ u → 0 , luego

xn+1 − (n + 1)x + n
x→1
(x − 1)2
lim

u=x−1

=

(u + 1)n+1 − (n + 1)(u + 1) + n
u→0
u2
lim

n+1

=

lim

k=0

n + 1 (n+1)−k
u
− u(n + 1) − (n + 1) + n
k

u→0=

lim

n+1
n+1

+

n+1
n

u+

u→0

=

lim

1 + u(n + 1) +

1
2 n(n

u→0

u2
u2 + ... + un+1 − u(n + 1) − (n + 1) + n

n+1
n−1

u2
+ 1)u + ... + un+1 − u(n + 1) − (n + 1) + n
u2
2

1 1
n(n + 1)u2 + ... + un+1
u2 2


n(n + 1)
lim 
+... + un−1 
u→0
2

=

lim

u→0

=

→0

n(n + 1)
2

=
sin(7x) − sin(5x)
x→0
sin(3x) − x

(f) limSolución:

(g) Calcule lim

x→0

Solución:

=

7 sin(7x)
− 5 sin(5x)
7x
5x
3 sin(3x)
x→0
−1
3x

=

sin(7x) − sin(5x)
x→0
sin(3x) − x
lim

7−5
=1
3−1

x sin x
1 − cos x

Arreglando la expresión
x sin x
x→0 1 − cos x
lim

x sin x · (1 + cos x)
x→0
sin2 x
sin x
· (1 + cos x)
= lim x
2
=

lim

x→0

=

(h) lim

x→0

lim

tan x − sin x
x3

2sin x
x

3

Solución:

tan x − sin x
x→0
x3
lim

=
=
=
=

√

(i) lim

x→0

sin x
cos x

− sin x
x3
sin x − sin x · cos x
lim
x→0
x3 cos x
sin x · (1 − cos x) 1 + cos x
lim
·
x→0
x3 cos x
1 + cos x
sin3 x
1
lim
=
x→0 x3 cos x(1 + cos x)
2
lim

x→0

√
1 + sin x − 1 − tan x
sin(2x)

Solución:

√
lim

x→0

√
1 + sin x − 1 − tan xsin(2x)

√

√
√
√
1 + sin x − 1 − tan x
1 + sin x + 1 − tan x
√
= lim
·√
x→0
sin(2x)
1 + sin x + 1 − tan x
1 + sin x − 1 + tan x
√
√
= lim
x→0 sin(2x)
1 + sin x + 1 − tan x
sin x + tan x
√
√
= lim
x→0 2 sin x · cos x
1 + sin x + 1 − tan x
=

lim

x→0

sin x cos x+sin x
cos x

2 sin x cos x

√

1 + sin x +

√

1 − tan x

sin x(cos x + 1)
√
√
= lim...