Limites infinitos y al infinito

LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO

JOSE GERARDO GONZALEZ GAVIRIA

LIC. LEONARDO CARVAJAL FERNANDEZ

CALCULO I

UNIVERSIDAD DE CORDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
III SEMESTRE

MONTERÍA – CORDOBA
22-02-11

Generalización del concepto de límite

Sea una función definida para valores reales en los alrededores de un númerob, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando entonces lo que se escribe como:

Recordemos que al calcular no importa que la función , esté o no definida en ; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función cualquiera para la que :

 
Observeque aunque , para valores de próximos a se tiene que , por lo que puede escribirse siempre
Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función .

En este caso, cuando tiende a por la derecha, que se escribe , la función tiende a , pero cuando tiende a por la izquierda, (denotado ) los valores de tienden a T.
Así, la función no tiende a un mismo valor cuando , por lo que sedice que no existe
Consideremos ahora la función definida por con , cuya representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando , entonces tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, (es decir, ), y que cuando , toma valores negativos cada vez menores, ( ). Así, no tiende a ningún número real fijo y se dice que no existe.

LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO

 
El símbolo se leeinfinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, seescribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos .
Consideramos la función definida por para . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:
 
a.  |    |
 
En este caso, cuando , la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como , es decir
 
b.  |   |
 Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea .
 
c. |   |
Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.
Así , o sea, cuando .

d. |   |
 
En forma similar a la tabla anterior se tiene quecuando es decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para , cuya representación gráfica es la siguiente:

 
Podemos decir que:
a. |     y |

b. |    y        |

Ejercicio 
Determine: , , , , , , utilizando para ello la función .

Daremos ahora algunas definiciones sobre límitesinfinitos, y límites al infinito.

  | Definición  |
  | Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota , si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe tal que siempre que . |
|
Gráficamente se tiene:

 
Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientementecerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por:
 

 
Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que .
Observe que: .
Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que .
Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir, cuando .
 
  | Definición  |
  | Se dice que decrece sin límite cuando...