Limites Y Continuidad

L´ ımites y Continuidad
L´ ımite de una funci´n de dos variables en un punto o
Si f es una funci´n de dos variables definida en una regi´n o o ⊂ R2 y (a, b) es un punto de acumulaci´n de o . Entonces el l´ ımite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L , en notaci´n o lim f(x, y) = L
(x,y)→(a,b)

si para todo n´mero ε > 0 existe un correspondiente n´ mero δ > 0 tal que u u |f(x, y) − L|< ε cuando 0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ

Gr´ficamente, a esta definici´n o establece que para todos los puntos (x, y) = (a, b) , contenidos en una bola de radio δ , el valor de f (x, y) se encuentra entre L − ε y L + ε .

• Ejemplos: 1. Comprobar que
(x,y)→(2,1)

lim

(2x + 3y) = 7 .

Hay que probar que para todo n´mero ε > 0 existe un n´ mero δ > 0 tal que u u |2x + 3y − 7| < ε cuando 0< Como |2x + 3y − 7| = |2 (x − 2) + 3 (y − 1)| ≤ 2 |x − 2| + 3 |y − 1| y tanto |x − 2| = como |y − 1| = se tiene que |2x + 3y − 7| ≤ 2 |x − 2| + 3 |y − 1| ≤ 2 (x − 2)2 + (y − 1)2 + 3 (x − 2)2 + (y − 1)2 Esto es |2x + 3y − 7| ≤ 5 (x − 2)2 + (y − 1)2 Luego, dado ε>0 cualquiera, se tendr´ que a 5 (x − 2)2 + (y − 1)2 < ε . Esto es, cuando (x − 2)2 + (y − 1)2 < 1 ε 5 |2x + 3y − 7| < ε cuando (y − 1)2 ≤(x − 2)2 + (y − 1)2 (x − 2)2 ≤ (x − 2)2 + (y − 1)2 (x − 2)2 + (y − 1)2 < δ

Entonces escogiendo ε δ = > 0 tal que 5

δ=

ε , 5

se

tiene

que

para

todo ε > 0

existe

|2x + 3y − 7| < ε cuando 0 < esto es,
(x,y)→(2,1)

(x − 2)2 + (y − 1)2 < δ

lim

(2x + 3y) = 7 . lim (x2 + y 2 ) sen

2. Comprobar que

1 =0 (x,y)→(0,0) xy Igual que en el ejemplo anterior, hay queprobar que para todo ε > 0 existe un n´ mero δ > 0 tal que u x2 + y 2 sen 1 < ε cuando 0 < x2 + y 2 < δ 2 xy x2 + y 2 < δ o x2 + y 2 < δ 2 ). 1 ≤ x2 + y 2 xy

( Note que es equivalente considerar Entonces, como x2 + y 2 sen puesto que sen

1 = x2 + y 2 xy

sen

1 ≤ 1 y como |x2 + y 2 | = x2 + y 2 se tiene que xy x2 + y 2 sen 1 ≤ x2 + y 2 xy

Luego, considerando cualquier n´mero ε > 0 setendr´ que u a (x2 + y 2 ) sen Entonces escogiendo δ = 1 < ε cuando x2 + y 2 ≤ ε xy

√ √ ε ,se tiene que ∀ε > 0 , existe δ = ε > 0 tal que 1 < ε cuando 0 < x2 + y 2 < δ 2 xy 1 =0 . xy

x2 + y 2 sen esto es, lim

(x,y)→(0,0)

(x2 + y 2 ) sen

• Para el c´lculo y las demostraciones de l´ a ımites de funciones de varias variables, adem´s a de las acotaciones |sen x| ≤ 1 y |cos x| ≤ 1 , sonutiles entre otras : ´ 0 ≤ |x| = √ x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ x2 + y 2 |x| ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x x2 + y 2 ≤1

0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ • Ejemplo : Comprobar que lim

x2 ≤1 x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

2x2 y =0 . x2 + y 2

2

— Como siempre, se tiene que demostrar que para todo ε > 0 existe un n´mero u δ > 0 tal que 2x2 y < ε cuando 0 < x2 + y 2 < δ 2 x2 + y 2 Esto quiere decir que se quiere encontrar δ > 0 tal quepara cada ε > 0 , ocurra 2x2 y que cuando x2 + y 2 ≤ ε se tenga que 0 , se tendr´ que a 2x2 y < ε cuando 0 < 2 x2 + y 2 < ε x2 + y 2 esto es, cuando ε ε x2 + y 2 < As´ tomando δ = ı, se tiene que para todo ε > 0 2 2 ε existe un n´ mero δ = > 0 tal que u 2 2x2 y < ε cuando 0 < x2 + y 2 < δ 2 x2 + y 2 Luego, lim 2x2 y =0 . x2 + y 2 y2 ≤ x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

C´lculo de l´ a ımites
Los l´ımites de funciones de dos variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, diferencia, producto y cuociente que los l´ ımites de funciones de una sola variable. Sin embargo para el c´lculo de l´ a ımites a diferencia del l´ ımite de una funci´n de una o variable, en este caso, la expresi´n (x, y) → (a, b) significa que el punto (x, y) se aproxima o al punto (x, y) por cualquier direcci´n otrayectoria ( o camino) posible. o Como esto es casi imposible, se puede recurrir a algunos recursos que nos da el c´lculo a de los l´ ımites de funciones de una variable. por ejemplo a trav´s de operaciones algebraicas, e encajes o acotaci´n. o • Con las funciones de varias variables, para el c´lculo de l´ a ımites, no se pueden aplicar a las formas indeterminadas, las Reglas de L´Hopital. Si...