Limites y continuidad

LIMITE DE FUNCIONES

Consideremos la siguiente función real :  



valor real menos el número . Analicemos los valores que toma la función cuando x se aproxima al valor .
y

     , que está definida para cualquier 

5

3

X

1)

Si nos acercamos por valores mayores que tres tenemos:

  
2)

 

 

 

 

 



 

 

 

Si nos acercamos por valores menores que tres tenemos :

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se puede apreciar claramente en las tablas que en la medida que x es suficientemente cercano al valor tres, las imágenes (de la función) se acercan al valor .Diremos entonces que el límite de la función   es el número , y lo denotaremos por



     , cuando  tiende a ( se acerca ) tres 

x

lim

      . 

En general diremos que el límite de la función  cuando     es  y lo denotaremos
  Escribamos ahora la definición formal de límite de una función : Definición 1 :

lim    

Sea   unafunción que está definida en todos los valores cercanos a  , excepto posiblemente en el punto  mismo. Se dice que  es el límite de   cuando  tiende a  , si la diferencia entre   y  puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir  a estar suficientemente cerca de  . En símbolos, escribiremos : lim

Nota 1



        ,     0 tal que             
1) 2) 3) No olvide que      representa la distancia entre  y  . Si el límite de una función existe, éste es único.

Si la función está definida en el punto  , el límite se encuentra reemplazando el valor qe  directamente es decir:
 

lim       ALGEBRA DE LIMITES

A continuación daremos las reglas generales para simplificar los cálculos enla obtención de límites. Teorema 1. Consideremos las funciones  () y () tales que lim     y lim    , entonces son válidas las siguientes reglas :
 

1 2 3 4 5 6 7 8

       

lim (  )()  lim  ()  lim ()     lim (  )()  lim  ()  lim ()     lim (
     lim  () lim () 

)() 





lim   ()    lim  ()     , con    lim [ ()]   [ lim  () ]    , con    lim  [  () ]   [ lim  () ]    lim   ()    lim  ()     
   



 

, con   

lim    , con   

Ejemplo1 :
Hallar los siguientes límites usando el teorema anterior :

1)



lim     lim   lim 
 

........( por 1)

 [lim  ]  lim .......( por 5)
 

 2  10  14 ..............( por 8) 2)


lim (   )  (    ( lim (   ) )  ( lim (   )) .......( por )
 

= (   )  (   )    3) lim (   )  [ lim (   ) ] ..........( por 5)
 

= (  ) 

 

4)



lim

lim (  ) lim (  ) (   )(  ) (  )(  )      = .  lim (  ) (  ) 


Límites especiales.
Los siguientes límites son de uso habitual : a) b) c) lim lim lim 1     , en general , lim    ,             , en general , lim    ,        1   , en general x
y





x

,



lim

 , 

y 

1 x
x



0

Nota 3.
Algunas técnicas para la obtención delímites :

1)

Al buscar límites de la forma lim

polinomios y ambos tienden al infinito, es

conveniente dividir los dos polinomios de la razón por   , donde  es la mayor potencia de estos.
Ejemplo2: Calcular el siguiente límite:
   x  

    decir, lim    

en que   y  son es de la forma
 ,

es

lim

.

Solución : En...