Limites

11

LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

Página 272
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
2
El valor de la función f (x) = x + 4x – 45 para x = 5 no se puede obtener directa2x – 10
mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones
sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; …

I

Comprueba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995I

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

I

¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x)
se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7
x→5

I

Si f (x) =

x2

+ 4x – 45 , entonces:
2x - 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
lím f (x) = 7

x→5

2
lím x + 6x – 27 .
2x – 6
x→3

I

Calcula,análogamente,

I

f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
lím f (x) = 6

x→3

Problema 1
Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si
es continua o discontinua:
 2
a) y =  x + 3
 5 – x2
 —
c) y =  √x + 3
 2/x

x 1
a) No, pues no existe f (–1).
b) lím – f (x) = lím + f (x) = f (2) = –2. Síes continua en x = 2.
x→2

x→2

c) lím – f (x) = 3 ≠ lím + f (x) = 4. No es continua en x = 1.
x→1

x→1

PARA RESOLVER
20

Calcula los siguientes límites:
a) lím

4x
– 2x

x → 0 x2

3
2
c) lím 3h – 2h
h
h→0

2
b) lím 2x + 3x
x
x→0
2
d) lím h – 7h
4h
h→0

☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.
a) lím

4x
= –2
x (x – 2)

b) lím

x (2x + 3)
=3
xc) lím

h2 (3h – 2) = 0
h

d) lím

h (h – 7)
7
=–
4h
4

x→0

h→0

x→0

h→0

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

18

21

Resuelve los siguientes límites:
b) lím

x → –2

e) lím

x → –3 x 2

x2 – x – 2
x–2

f ) lím

x4 – 1
x2 – 1

x → –1

x+2
x2 – 4

c) lím

x3 + 1
x2 + x

d) lím

2
a) lím x – 1
x→1 x – 1x→2

x+3
+ 4x + 3

x→1

a) lím

(x + 1) (x – 1)
=2
(x – 1)

b) lím

2
x3 + 1
3
= lím (x + 1) (x – x + 1) =
= –3
2 + x
–1
x (x + 1)
x
x → –1

x→1

x → –1

c) lím

(x + 2)
1
=–
(x + 2) (x – 2)
4

d) lím

(x + 1) (x – 2)
=3
(x – 2)

e) lím

(x + 3)
1
=–
(x + 3) (x + 1)
2

f ) lím

(x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) = 2
(x – 1) (x + 1)

x → –2

x → –322

x→2

x→1

Resuelve los siguientes límites:
a) lím

3x 2
(x – 1)2

b) lím 1 – (x – 2)2

c) lím

1–x
(2x + 1)2

d) lím

x → +∞

x → +∞

a) 3
23

b) –∞

x → –∞
x → –∞

c) 0

x3 + 1
5x

d) +∞

Calcula el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes funciones y representa las ramas que obtengas:
a) f (x) = –1
x2

b) f (x) = 10x – x 3

2c) f (x) = x
x–1

d) f (x) =

a) lím

f (x) = 0;

b) lím

f (x) = –∞;

c) lím

f (x) = +∞;

d) lím

f (x) = –4;

x → +∞

x → +∞

x → +∞

x → +∞

lím

x → –∞

1 – 12x 2
3x 2

f (x) = 0

lím

f (x) = +∞

lím

f (x) = –∞

lím

f (x) = –4

x → –∞

x → –∞

x → –∞

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

–4

19

24Calcula el límite de la función f (x) =
lím f (x) =

x→3

lím

x → –1–

25

3
4

x2
x2 + x

en x = 3, x = 0 y x = –1.

lím f (x) = 0

x→0

f (x) = +∞

lím

x → –1+

f (x) = – ∞

Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
denominador:
a) f (x) =

3x
2x + 4

b) f (x) =

x–1
x 2 – 2x

c) f (x) =

x 2 – 2x
x2 – 4

d) f(t) =

t 3 – 2t 2
t2

a) lím

f (x) = +∞;

b) f (x) =

x–1
x (x – 2)

x → –2–

lím f (x) = –∞;

x → 0–

c) f (x) =

lím f (x) =

26

f (x) = – ∞

lím f (x) = +∞;

x → 0+

lím f (x) = –∞;

lím f (x) = +∞

x → 2–

x → 2+

x (x – 2)
(x – 2) (x + 2)

x→2

d) f (t) =

lím

x → –2+

2
1
= ;
4
2

lím

x → –2–

f (x) = +∞;

lím

x → –2+...