Limites

CAPITULO III: LIMITES
1 DEFINICION DEL LIMITE DE UNA FUNCION
Sea a un punto de un intervalo abierto I, sea f(x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a, es un real L y se escribe:
, si y solamente si, para cada , existe un , tal que para todo , si entonces, (1).
limx→af(x)=L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 /∀x∈I 0<x-a<δ⟶f(x)-L<ε
Observaciones:  
i. La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes: 
 
 
 

En la figura 1. Se ilustra gráficamente el significado de ε y ρ, en esta última implicación. Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo: , los correspondientes f(x) pertenecen al intervalo:

Fig. 1
ii. El límite de una función no dependedel valor de la función en el punto, aunque algunas veces coincide, sino, del valor de la función en las "cercanías" del punto.
iii. La definición de límite no establece la manera de determinar el ε para un ρ dado. En las demostraciones sobre límites, el procedimiento está orientado a dejar en claro como se puede determinar dicho ε.  
EJEMPLOS:

1. Usando la definición rigurosa del limitede una función , pruebe que:

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:
(1)
Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(V.A.5)
(factorizando)
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger. (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para.)
2. Usando la definición del límite de unafunción, demostrar que:

Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:
Si, entonces (1)
Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).
(factorizando)

simplificando, puesto que x – 1  0)

(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger (cualquier valor menor funciona).

2 TEOREMAS SOBRELIMITES  
TEOREMA 1 (Unicidad del Límite)
El límite de una función si existe, es único, es decir:
Si limx→afx= L1 y limx→afx= L2, entonces L1 = L2
En palabras: Si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único.  
TEOREMA 2
Si f y g son dos funciones tales que fx ≤ gx, ∀ x de un intervalo con x ≠ a, y limx→afx= L y limx→agx= M entonces L ≤ M , esdecir:
limx→afx ≤ limx→agx.
TEOREMA 3
Si limx→afx=L entonces existe δ >0 tal que para todo x ∈ <a- δ, a+ δ >, x ≠ a, se tiene f(x) < K para algún k real positivo.
TEOREMA 4
Si limx→x0fx= L ⟺ limx→afx0+ h= L
Se aplica para calcular funciones trigonométricas, cuando x tiende a x0 diferente de cero.

3 PROPIEDADES SOBRE LIMITES
Las propiedades de loslímites de funciones son herramientas útiles que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.  
Sean f y g funciones tales que:
limx→afx= L , limx→agx= M y K una constante
a) limx→aK= K
b) limx→aK fx= K limx→afx
c) limx→afx ± g(x) =limx→afx ± limx→agx= L± M
d) limx→afx .gx=limx→afx . limx→agx= L. M
e) limx→a1g(x)=1limx→agx= 1M , si M≠0
f) limx→af(x)g(x) = limx→afxlimx→agx = LM , si M≠ 0, gx≠0
g) limx→af(x)n= limx→afxn, n es entero positivo
h) limx→anf(x) = nlimx→afx = nL , ∀ n par positivo
i) limx→afx= limx→afx = L
j) limx⟶af(x)g(x) = limx→af(x)limx→→ag(x) = LM

k) limx⟶aLnf(x) = Ln limx⟶af(x)

4 LIMITES NOTABLES
Comoejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
a) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
limx→0sen f(x)f(x) = 1 limx→0tg f(x)f(x) = 1
b) LIMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
limx⟶∞1+ 1f(x)f(x) = e limx⟶01+f(x)1f(x) = e
5 OPERACIONES CON LIMITES
a)SUMAS CON INFINITO
Infinito más un...