LIMITES

REGLA DE 
Si, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe, entonces este límite coincide con.

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

PROBLEMAS RESUELTOS
1) Hallar el límite:

Este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla deL'Hôpital:

Límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:
Que es en definitiva el valor del límite.
Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:  / , 0×, -.
Por ejemplo, una indeterminación del tipo /, provendrá de un límite de laforma:
en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:
y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.

2) Hallar el límite:

Este límite en principio toma la forma indeterminada /, y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:




SERIESALTERNANTES

En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo Con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.
Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aun así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica diverge,mientras que su versión alterna converge al logaritmo natural de 2.
Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión  es monótona decreciente y tiende a cero, entonces la serieconverge.
Se puede utilizar la suma parcialpara aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si  es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en estaaproximación resulta ser menor que.
Convergencia condicional
Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real converge condicionalmente, entonces para todo número real  existe un reordenamiento  de la serie tal que
Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente parael logaritmo natural de 2:

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):




Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.

PROBLEMA RESUELTO


SERIES DE POTENCIAS
Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde  es una variable y las  sonconstantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada  establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de  y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función.

Cuyo dominio es el conjunto de todas las  para las cuales la serie es convergente.Observe que  es parecida a un polinomio. La única diferencia es que  tiene una cantidad infinita de términos.

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Para que valores de  la serie  es convergente?
Al aplicar la regla de comparación. Si denota con  como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, después  Sí.
Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando. En estos términos, la serie dadaconverge cuando 

2.-Sea determinar su radio de convergencia y en que intervalo converge solución: Usando criterio de la raíz:











(-1,1) intervalo de convergencia

SERIES DE TAYLOR
La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es...