Limites

 Límites
Este concepto es la diferencia esencial entre el precálculo y el cálculo. Lo anterior se resalta con algunos conceptos.
Sin cálculo
Con el cálculo
Evaluación de una función en un punto del dominio de la función
Evaluación de una función en un punto como, el límite de f(x) cuando x tiende a c, y c no pertenece al dominio de la función.
Pendiente de una recta
Pendiente de unacurva
Recta secante a una curva
Recta tangente a una curva
Velocidad promedio de un objeto que se desplaza con velocidad constante
Velocidad de un objeto sometido a una aceleración
Área de un rectángulo
Área bajo una curva
Longitud de una recta
Longitud de una curva

Antes de dar el concepto formal de límite se analizarán dos problemas clásicos del cálculo: el problema de la recta y elproblema del área.
Supongamos que la recta tangente que se desea determinar no es vertical, que la gráfica de una función está dada por la ecuación y = f(x) y P es un punto sobre la gráfica. El problema de determinar la recta tangente en el punto P equivale a calcular la pendiente de la recta tangente en P. Ese valor se puede aproximar con el cálculo de la pendiente de una secante que se trazatomando en cuenta a P(c, f(c)) (el punto de tangencia) y otro punto Q sobre la gráfica, de coordenadas Q(c + ∆x, f(c + ∆x)) como se muestra






Recta secante que pasa por P(c, f(c)) y Q(c + ∆x, f(c + ∆x))
La pendiente de la secante que pasa por P y Q se calcula (con el precálculo) como

Cuando el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la secante se aproxima a la pendiente dela tangente, como se muestra en la siguiente figura. En este caso, se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de la recta secante.






Cuando Q tiende a P, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente.
Ejemplo. Considerar la función f(x) = 6x – x2 y el punto P (2, 8) sobre la gráfica de f
a) En la siguiente gráfica se muestran las rectassecantes:
L1: recta de P a Q1 (3, f(3))
L2: recta de P a Q2 (2.5, f(2.5))
Trace la recta secante de P a Q3 (1.5, f(1.5))
b) Encontrar la pendiente de cada recta secante.
c) Utilizar los resultados de (b) para estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(2, 8). Describir cómo puede mejorarse la aproximación de la pendiente.







Ahora se tratará el problemade calcular el área bajo una curva.
Supongamos que se desea determinar el área acotada por la gráfica de y = f(x), y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b. La aproximación al área se hará mediante áreas de rectángulos como se muestra.






En este caso la aproximación se hace con tres rectángulos. La suma de las áreas de los rectángulos es una primera aproximación al área que sedesea determinar.
Área ≈ (x1 – a)f(a) + (x2 – x1)f(x1) + (b - x)f(x2) = ∆x f(a) + ∆x f(x1) + ∆x f(x2)
Nota: generalmente los subintervalos que se consideran son de la misma longitud y
∆x = (b – a)/n, donde n es el número de subintervalos.
Incrementemos ahora el número de rectángulos al doble.





Ahora la suma de las áreas de los rectángulos es una mejor aproximación al área debajo de lacurva y = f(x) desde x = a hasta x = b.
En la medida que se aumenta el número de rectángulos se mejora la aproximación pero los rectángulos serán cada vez más estrechos (∆x →0), así que el área bajo la curva desde x = a hasta x = b se obtiene como límite de las suma de las áreas de los rectángulos en la medida que se aumenta el número de ellos (lo que equivale a que ∆x →0).
Ejercicio. Sea y =f(x) = 5/x , 1 ≤ x ≤ 5
a) Aproxime el área limitada por la gráfica de f(x), y = 0, desde x = 1 hasta x = 4 utilizando 4 rectángulos y ∆x = 1
b) Repita el procedimiento anterior utilizando ocho rectángulos con ∆x = 0.5
Ahora se introducirá el concepto de límite de manera numérica y gráfica.
La gráfica de la función es la que se muestra


El 0 no pertenece al dominio de la función (en...