Limites

UNIVERSIDAD TECNICA EL NORTE

Nombre: Anderson Steven Benalcázar Ruiz
Carrera: Mecatrónica
Fecha: 6 de Diciembre del 2012
ANALISIS MATEMAICO I

Introducción
Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones de los últimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representación de funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesariopara recopilar datos suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función. En este artículo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exámenes de septiembre), vamos a ver cómo realizar dicho cálculo.
Definición y tipos
Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:
Dada una función  cuya gráfica es lacurva  se dice que la recta  es una asíntota de  si la curva  se acerca a  indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia .
Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de laforma . Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando ) y otra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente forma:
Si , entonces  es una asíntota horizontal para  (por la izquierda).
Si , entonces  es una asíntota horizontal para  (por la derecha).
Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:
Funciones que no tienen asíntotashorizontales
Por ejemplo,  cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado  y  respectivamente. Vemos su gráfica:

Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado
Como ejemplo tenemos la función . En este caso , por lo que  es una asíntota horizontal de  por la izquierda, y , por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráficajunto a su asíntota (en azul):

Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados
Por ejemplo, . En este caso, , por lo que la recta  es asíntota horizontal de  tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):

Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas
Por ejemplo  cumple que , por lo que  es asíntotahorizontal de  por la izquierda y , por lo que es asíntota horizontal de  por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:

Asíntotas verticales
Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma . No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotasverticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:
Si , entonces  es asíntota vertical para  (por la izquierda de la misma si el límite ha dado  y por la derecha si el límite ha dado ).
Si , entonces  es asíntota vertical para  (por la izquierda de la misma si el límite ha dado  y por la derecha si ellímite ha dado ).
Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de  para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible laexistencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).
Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:
Valores que anulan algún denominador de la función
Por ejemplo, para  tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto .
Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio
Por ejemplo, el dominio de  es el...