Limites

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia – Facultad Tecnológica
Departamento de Matemática y Ciencia de la
Computación

2º Semestre 2009
Guía de Ejercicios Nº 2
Asignatura: Matemáticas II
Profesor: H. Carreño G.

Guía de Ejercicios Nº 2 - Límite y Continuidad
1.0.

ÁLGEBRA DE LÍMITE
OBJETIVO:
1.1.

El alumno deberá ser capaz de aplicar el álgebra de límites y calcular su valor.Aplicando el álgebra de límite, calcular:
1.
3.

5
7.
9.
11.
13.
15.

17.
19.

x 1


 2

 x  3x  4 

lím

x  -1

2 x 2  3x - 1

lím

x 1

x2 1

lím

1  h -1
h

h 0

1

h 

lím

h 0

lím

h0


lím 
x 1


25.
27.

Profesor: H. Carreño G.

1 h

lím

x
3

-

x -1

20

- ( 3x  2 )

lím

12  3 2  5 2  .....  ( 2n - 1 ) 2
2  4

lím

x-6

x 0

lím (

x

x 2

 ....  (2n)2

 2

x  8
3

x  2

lím

2

x2 - 2 x - 3

x 3

xh h

lím

h 0

x

8.
10.

3
 1
x
lím 

x  1 x -1
x
1


12.

lím

16.

n2
2

x 3  27

3

x a

lím

;x>0

1 x - 1
, n  N.
x
(xa)(xb) - x )
8 - x3
2

x - 2x

Guía Nº 2 – Matemática II

18.
20.

22.
24.

lím

k 1

lím

x 2

lím

(1 x )

5

x

- (1 5 x )

2

 x5

k -1
kn - 1

( x 2 - x - 2 ) 20
( x 3 - 12 x  16 )10
x  13 - 2
x -9

x 

x

m

x -1

x 1 n

x -1

26.

 1 x 
lím 

x 1  2  x 

28.

lím

x 2

x

x 1

x

lím

x 1

2

x 3

lím






x - 5 a
x -a

x 0

30

12  3 2  5 2  .....  ( 2n - 1 ) 2

n 

lím

5

( 2x  1 ) 50

n 

x3  8

x -2

(1  h ) 2 -1
lím
h 0
h

14.

( 2x - 3 )

x 

lím




x -1 
1

3

x2 -4

lím

3


- 1 


1

x 1

x  1

lím

6.

x -1

lím

n

23.

4.

f(5 h )-f (5)
1
si f ( x) 
x
h

3

21.

2.

, m, n

N

1 x
1 - x

x2 - 2 x
x2 - 4 x  4

1º Semestre 2011 – Pág.: 1

Universidad de Santiago de Chile

29.

Facultad Tecnológica

x 3 - 27

lím

30.

2

x 3

x - 9

x 2x

x  64

2

31.
33.

lím

x -2

lím

h  0

32.

x  2x
( 3  h ) 3 - 27
h
3

2

34.

x -8

lím

lím

x a

lím

h 0

3

x - 4

x - a
x- a

1
1

h  2  h

3

35.

x 143.

- 2

lím

x 0

3x

- x

40
42.

1
x

2h

2 -

h 0

x 1

38.

 2x - 1

2

1
1-

lím

lím

-2

2x 2  5 x  3

44.

h
3

45.

-1

2x - 1

x  -1

lím

36.

2

1
2

x

41.

x

lím

37.

39.

x -1
x- 1

lím

x -1

4

46.

x -1

x - ( a 1) x  a

lím

x 4

1.2.

Si
a.

1.3.

x

3

- a

48.

3

1 x - 1
3

1 x - 1
3

2x

lím

2x 2 - x - 10

x - 2

2x

lím

x 1

x 1

lím

x 2

lím

x 35 x2 - x - 6

4

- 6 x3  x
x -1

2

3

x4 - 2 x3  2 x  1
x

6

-3x

4

 3x2 - 1

6 x2 3 -

27

x- 2

x  13 - 2· x  1
x2 - 9

.

f ( x)  2 x 2  3 x  4 . Determinar:
f ( x ) - f ( 1)
x -1
6 x  1 . Determinar:

b.

lím

x 1

Si g ( x ) 
a.

1.4.

lím

x a

2x - 3 x - 28

lím

2

47.

x 2 - 16
2

x 0

lím




2 

1

lím

x 4

g(x) - g( 4)
x - 4

lím

h  0

lím

h  0

f (1 h )- f ( 1)
h

g(x h) - g(x)
h

La siguiente figura muestra la gráfica de la función:

f ( x) 

3x 3 - 2x  1
4x 2  3x - 7

En la cual se percibe que ella presenta una asíntota
oblicua, la cual es una recta, cuya ecuación es de
la forma y  mx  n , donde m es la pendiente y n
es el coeficiente de posición, los cuales se calcular
por los siguientes limites:
 f ( x) 
Pendiente m : lim 

x  x 
Coeficiente n :

lim  f ( x)  m  x
x



Se pide determinar la ecuación de dicha asíntota.

Profesor: H. Carreño G.

Asignatura: Matemáticas II

2º Semestre 2009 – Pág.: 2

Universidad de Santiago de Chile

2.0.

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
OBJETIVO:

El alumno deberá ser capaz de
trigonométricos y calcular su valor.

lím sen (x)  0

Considerar:
2.1.

sen

3

6.

sen ( x ) - sen ( a )
x-a

8.

 cosec ( x ) - cosec ( a ) 
lím 

x a 
x -a


10.

lím

x a

9.
11.

lím

x 0

13.

3 arc tg ( x )
5x

1 - cos ( x

lím

x 0

lím

4.



x 0

7.

propiedades

)

sen ( mx )
; con m, n  
sen ( nx )

x 0

x2


 x  
lím  ( 1 - x ) tg 
 
x 1
 2 
cos ( x ) - cos ( a )
lím
x a
x -a
 1 - cos( x )·cos ( 2 x) cos (3 x) 

lím 
x 0
1 - cos ( x )

1  tg(x) -...