Limites

Escuela de Ingeniería Civil

Matemática I - 1

Límites de Funciones de Variable Real
1.

Límites

Ejemplo 1.1 Gráficar
x3 ´ 1
, x ‰ 1.
x´1
En x “ 1, no está claro, que esperar!.
f pxq “

x tiende a 1 por la izquierdaÝÑ
x
0.75
0.9
0.99
0.999
f pxq 2.313 2.710 2.970 2.997

ÐÝ x tiende a 1 por la derecha
1

1.001

1.01

1.1

1.25

¿...?

3.003

3.030

3.310

3.813

Figura 1: f no esta definida en x“ 1
La gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto p1, 3q. A pesar de que x
no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1, y en consecuencia, f pxq se
acerca a 3 de la misma manera.
Por notación:
l´ım f pxq “ 3.
xÑ1

Este análisis conduce a una descripción informal de límite. Si f pxq se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los doslados, entonces
el límite de f pxq, cuando x se aproxima a c, es L, i.e.,
l´ım f pxq “ L.

xÑc

Ejemplo 1.2 Evaluar la función
f pxq “ ?

x
,
x`1´1

en varios puntos cercanos a x “ 0 y estimar el límite
l´ım ?

xÑ0

Ana Gamarra Carrasco

x
.
x`1´1

Alex Neri Gutierrez

Robert Diaz Tapullima

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Matemática I - 2

Solución: Estimando el dominio de la función,
?
x`1ą0 ^x`1´1‰0
x ą ´1 ^ x ` 1 ‰ 1
x ą ´1 ^ x ‰ 0,
luego, Dom pf q “ă ´1, 0 ą Y ă 0,` 8 ą.
Ahora, tabulando algunos valores para x,
x Ñ 0 por la izquierda
x
f pxq

´0 ´ 01

´0.001

1.99499

1.9950

0 Ð x por la derecha

´0.0001

0

1.99995

¿...?

f pxq Ñ 2

0.0001

0.001

0.01

2.00005

2.00050

2.00999

2 Ð f pxq

Figura 2: f no esta definida en x “ 0

1.1.

Definición formal de límites

Sea f una funcióndefinida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente
en c) y L un número real. La afirmación
l´ım f pxq “ L,

xÑc

significa:
@ε ą 0, D δ ą 0{ 0 ă |x ´ c| ă δ ùñ |f pxq ´ L| ă ε.

1.2.

Cálculo analítico de límites

Teorema 1.1 Propiedades básicas
Si b y c son números reales y n un entero positivo:
1. l´ım b “ b.
xÑc

Ana Gamarra Carrasco

2. l´ım x “ c.
xÑc

Alex Neri Gutierrez3. l´ım xn “ cn .
xÑc

Robert Diaz Tapullima

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Matemática I - 3

Ejemplo 1.3 Evaluar:
3. l´ım x2 “ 4.

2. l´ım x “ 2.

1. l´ım 4 “ 4.
xÑ2

xÑ2

xÑ2

Teorema 1.2 Propiedades de los límites
Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites
siguientes;
l´ım f pxq

xÑc

L

“

l´ım gpxq “ K.

y

xÑc

Entonces:
1. l´ım rbf pxqs “ b l´ımrf pxqs “ bL.
xÑc

xÑc

2. l´ım pf pxq ˘ gpxqq “ l´ım f pxq ˘ l´ım gpxq “ L ˘ K.
xÑc

xÑc

xÑc

3. l´ım rf pxq.gpxqs “ l´ım f pxq. l´ım gpxq “ L.K.
xÑc

xÑc

xÑc

l´ım f pxq
f pxq
L
“ xÑc
“ , K ‰ 0.
xÑc gpxq
l´ım gpxq
K

4. l´ım

xÑc

”
ın
5. l´ım rf pxqsn “ l´ım f pxq “ Ln .
xÑc

xÑc

Ejemplo 1.4 Calcular
l´ım p4x2 ` 3q

xÑ2

Solución:
l´ım p4x2 ` 3q “

xÑ2

l´ım 4x2 ` l´ım 3

xÑ2

xÑ2

2

“ 4l´ım x ` 3
xÑ2

“ 4.p2q2 ` 3
“ 19
Teorema 1.3 Límites de funciones polinomiales y racionales
➀ Si p es una función polinomial y c un número real, entonces:
l´ım ppxq “ ppcq.

xÑc

➁ Si r es una función racional dada por rpxq “
entonces :

ppxq
qpxq

l´ım rpxq “ rpcq “

xÑc

y c un número real tal que qpcq ‰ 0,
ppcq
.
qpcq

Ejemplo 1.5 Calcular
x2 ` x ` 2
.
xÑ1
x`1
l´ım

Solución:
x2 ` x ` 2
22 ` 2 ` 2“
“2
xÑ1
x`1
2`1
l´ım

Ana Gamarra Carrasco

Alex Neri Gutierrez

Robert Diaz Tapullima

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Matemática I - 4

Teorema 1.4 Límite de una función radical
Si n es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda c, si n es impar; y para
toda c ą 0 si n es par.
?
?
l´ım n x “ n c.
xÑc

Teorema 1.5 Límite de una función compuesta
Si f y g son funciones tales que l´ımgpxq “ L y l´ım f pxq “ f pLq, entonces
xÑc

xÑL

l´ım f pgpxqq “ f pl´ım gpxqq “ f pLq.

xÑc

xÑc

Ejemplo 1.6 Calculando los siguientes,
☞ l´ım px2 ` 4q “ 4.
xÑ0

☞ l´ım p2x2 ´ 10q “ 8.
xÑ3

Teorema 1.6 Límite de una funciones trigonométricas
Sea c un número real. Entonces:
➀ l´ım sen x “ sen c.

➃ l´ım cot x “ cot c.

➁ l´ım cos x “ cos c.

➄ l´ım sec x “ sec c.

➂ l´ım tan x “ tan...