Logaritmos

LOGARITMOS

DEFINICIÓN.- Si N y b son números reales positivos y si b ≠1 entonces:
logbN=L ↔N=bl

N>0
b>0
Se lee: L es el logaritmo de N en base b
Ejemplos:
1. Hallar el logaritmo de 16 en base 2.

Solución:
log216=L ↔16=(2 )L ↔ 24=2L2
∴log216=8
→4= L2 → L=82. Hallar el número cuyo logaritmo en base 116 es -0.75.

Solución:
log116N=-0.75=-75100=-34 ↔N=(116)- 34
N=1(116)34= 11(16)34=(16)34=(24)34=23=8
∴log1168=-0.75



3. Si logx(94) =-23 Hallar X

Solución:
Logx(94) =-23 ↔ 94=x-23↔(94)32=(x-23)32 ↔ (94)32= x-1
↔ (32)32(22)32= 1x ↔ x= 22.3232.32= 2333= 827
∴ x=827

4. Hallar el de : E=(log73749)(log40.25)

Solución:

Sea: log73749=x ↔ 3749=7x ↔ 3772=7x
↔ 71372=7x ↔ 713-2=7x ↔ 13-2=x → x= -53

Sea: log4(0.25)=y ↔ 0.25=4y ↔ 25100= 4y
↔ 14=4y ↔ 4-1= 4y →y=-1
Z=-53-1=53

Luego:

5. Si : logx(181)= log8(116), hallar x

Solución:
Sea: log8(116)=y ↔ 116= 8y ↔ 124=(23)y
↔ 124=23y ↔ 2-4= 23y →y= -43

Luego: logx(181)= -43 ↔ 181= x-43
(134)34=(x-43)34 ↔ 1(34)34= x-1
↔ 133=1x ↔ x= 33=27

6. Hallar el logaritmo de 3254 de base 22.

Solución:
log223254=x ↔ 3254 =(22)x
↔ 25522 = (22) x
↔ 25+25 = 21+12x
↔ 2275 = 232x → 275= 32x
→ x= 27 ∙25 ∙3= 185=3,6

7. Hallar elvalor de:
E=2log1432- 3log18316+ 52log34349- 23log4(8-32)
Solución:
* log1432=x ↔ 32=(14)x
↔ 25= 2-2x
↔ 25 = 2-2x → 5 = - 2x
→ x= - 52

* log18316=y ↔ 316= 18y
↔ 324= (123)y
↔ 243= 123y
↔ 243= 2-3y → 43= -3y→ y= -49

* log34349=z ↔ 49= 343z
↔ 72= 73z → 2=3z
→ z=23

* log4(8-32)=w ↔ 8-32= 4w
↔ 23-32=22w
↔ 2-92=22w → -92=2w
→ w=-94

Así:

E=2x-3y+52z-23w

E=2-52-3-49+5223-23- 94

E= -5+43+5 3+32

E=-72+3=-12

E= -12

EJERCICIOS

1) Determinarel valor de ¨x¨ si:

a. logx325=13 Rpta. x=25

b. log827(x)=log4316 Rpta. x=49

c. logx125=log28 Rpta. x=25

2) Hallar el valor de:E=12log13(81)+3log10(0.001) ÷2log5(125)-12log8(2)÷5log84516 Rpta. 72

3) Hallar el valor de:

E=log2564+ log27(23)log3(34)+log4(8-32) Rpta. - 827

4) Hallar el valor de:

E= log9(81)+log8(4)log19(27)-log25(254) Rpta. - 1615

NOTA:
1. Solamenteexisten sistemas de logaritmos cuya base es una cantidad positiva diferente de la unidad.
2. En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.
3. Sistema de logaritmos naturales
logeN= lnN
4. Sistema de logaritmos decimales
log10N=logN
5. logbN=x ↔ N= bx
N= bx= blogbN=N

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS...