Logaritmos

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato

BY NESTOR

LOGARITMOS Y APLICACIONES
1.- LOGARITMOS

El logaritmo en base a > 0 y ¹ 1 de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para que dé dicho número: log a N = x Û a x = N Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base el número e se llaman naturales o neperianos y serepresentaban por ln o L. Propiedades elementales: 1) log a a = 1 y log a 1 = 0 2) log a a x = x Otras propiedades: 3) log a MN = log a M + log a N

(

)

( )

æ Mö 4) log a ç ÷ = log a M - log a N siempre que N ¹ 0 èNø 5) log a N m = mlog a N "m ÎR

Transformación de logaritmos: log b N ln N 6) log a N = o mas generalmente log a N = ln a log b a Otras propiedades: 1 son opuestos. a 8)Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en cualquier otra base. 7) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y

2. ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente. Vamos a resolver los siguientes tipos de ecuaciones exponenciales: 1) Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base 2) Resolublespor cambio de variable 2.1. Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base Para resolverlas, generalmente se descomponen en factores primos las bases, y se realizan las operaciones necesarias hasta conseguir una igualdad de potencias con la misma base.

1

Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log para representar el logaritmo neperiano.

CipriDepartamento de Matemáticas

1

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato Ejemplo 1: Resolver la ecuación 41- 3x = 2 x - 2

I.E.S. “Ramón Giraldo”

(2 )

2 1- 3x

= 2x- 2

Descomponemos en factores la base 4 Potencia de una potencia: se deja la base y se multiplican los exponentes Igualamos los exponentes (ya que las potencias tienen la misma base) Quitamos paréntesis Agrupamos: las x a unmiembro y los números al otro Operamos Resolvemos: el coeficiente de x, pasa al otro miembro diviendo, pero con su signo.

2 2(1- 3x ) = 2 x - 2 2 (1 - 3x ) = x - 2 2 - 6x = x - 2 -6x - x = -2 - 2 -7x = -4 x= -4 4 = -7 7

Ejemplo 2: Resolver la ecuación 3 × 4 3x = 768 4 3x = 768 3 El 3 que está muliplicando, pasa dividiendo. Efectuamos la división Descomponemos en factores primos las bases.Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes. Igualamos los exponentes. Resolvemos.

4 3x = 256

(2 )

2 3x

= 28

2 6 x = 28 6x = 8 x= 8 4 = 6 3

2.2. Resolubles por cambio de variable Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir (factorizando las bases, aplicando las propiedades de las potencias…) que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma.Dicha exponencial nos da el cambio de variable que hay que hacer. Al realizar dicho cambio queda una ecuación de las que ya sabemos resolver (de primer grado, de segundo, bicuadradas...). Ejemplo 3: Resolver la ecuación 9 x - 8 × 3 x - 5913 = 0

(3 ) - 8 × 3
2 x

x

- 5913 = 0 - 5913 = 0

Descomponemos 9 en factores primos. Intercambiamos los exponentes. Hacemos el cambio de variable 3x = y .(3 ) - 8 × 3
x 2

x

y 2 - 8y - 5913 = 0 ì 8 + 154 = 81 8 ± 8 - 4 ×1× (-5913) ï 2 ï y= =í 2 ×1 ï 8 - 154 = -73 ï 2 î
2

Resolvemos la ecuación cuadrática. 2

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato ì81 ® 3x = 34 ® x = 3 3 =í î-73 ® No tiene solución
x

I.E.S. “Ramón Giraldo”

Deshacemos el cambio de variable y resolvemos laecuación original.

3. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Un sistema de ecuaciones es exponencial cuando al menos una de sus ecuaciones lo es. Para resolver dichos sistemas utilizaremos las técnicas vistas en el apartado anterior, y los transformaremos en sistemas lineales, que resolveremos por método que consideremos más adecuado. Ejemplo 4: ì2 x × 2 y = 256 Resolver el sistema exponencial...