Logaritmos

UNIVERSIDAD ADVENTISTA DE CENTROAMERICA
Escuela de Ingeniería de Sistemas







Presentación Preliminar de Contenido

Clase:
Calculo 1

Tema:
Logaritmos y Exponenciales

Alumno:
Dwayne Wilbur Powery Ebanks

Profesor(a):
Dodanim Castillo

La Ceiba, Alajuela Costa Rica

17-jun-2015
Contenido
Interés Compuesto 3
Definición de Interés Compuesto 3
Cálculos del interés compuesto 3
Obtención delos elementos de la fórmula del interés compuesto 4
Funciones exponenciales 5
Definición formal 5
Propiedades 5
Derivadas 6
Función exponencial compleja 7
Logaritmos 7
Definición 7
Identidades logarítmicas 8
Elección y cambio de base 9
Aplicaciones y propiedades de los logaritmos 11
Propiedades generales 11
Propiedades analíticas 12
Función logarítmica 12
Función inversa 13













InterésCompuesto

Definición de Interés Compuesto
El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, esdecir, se capitalizan.

Cálculos del interés compuesto
Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula:

Donde:
 es el capital al final del enésimo período
 es el capital inicial
 es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)
 es el número de períodos
Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula:

Donde:
 es latasa de interés total expresada en tanto por uno (v.g., 1,85 = 185 %)
 es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)
 es el número de períodos
Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea , así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

El resto de tasas puedencalcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.



Obtención de los elementos de la fórmula del interés compuesto
De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales iniciales y final y el interés, despejando n enla última fórmula, obteniéndose:

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:
,

Funciones exponenciales

Definición formal
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

O como ellímite de la sucesión:


Propiedades
La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)





Derivadas
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de laspropiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
Lafunción es solución de la ecuación diferencial.
Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .




Función exponencial compleja
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como...