logica

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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 2 Para Ingeniería
Cristián Burgos G.

Guía de Ejercicios: Sumas de Riemann, T.F.C. y Aplicaciones.

1. Calcule lassiguientes integrales usando la denición:
(a)

ˆ

b

Cdx , C ∈ R

a

(b)

ˆ

b

xdx
a

(c)

ˆ

b

x2 dx
a

(d)

ˆ

3

x3 dx
−1

2. Observe que si f es contínua en [0, 1], entonces
ˆ

1

1
n→∞ n

n

f (x)dx = lim
0

f
k=1

k
n

Calcule los siguientes límites:
12 + 22 + 32 + ... + n2
n→∞
n3
(n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n)
(b) lim
n→∞
n2
2(na) + (na + b)2 + (na + 2b)2 + ... + (na + (n − 1)b)2
(c) lim
n→∞
n3

(a) lim

3. Calcule f (x) en el punto pedido para
(a) f (x) =

ˆ

x

0

(b) f (x) =

ˆ

x
x
4

ux −sin(πu)
√
du en x = 2
4 + u2
√
x cos u + u
π
du en x =
3
2
sin u

4. La siguiente ecuación dene a y implícitamente como una función de x . Calcule
ˆ
x sin(xy) +

5. Demuestre que si g(x) =ˆ

x

x2 sin(y)

√

y

dy
:
dx

sin t
dt = 1
t

f (u) sin xdu , entonces:

0

g (x) + g(x) = 2f (x) cos x + f (x) sin x
ˆ

x

1 + sin u
du . Determine un polinomio dela forma p(x) = ax2 + bx + c tal que
2 + u2
0
satisfaga p(0) = f (0) , p (0) = f (0) , p (0) = f (0).

6. Dada la función f (x) = 3 +

2

7. Sea f > 0 una función acotada e integrable en R ytal que el área de la región
R = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ f (x) , 0 ≤ x ≤ 1

es 1 y sea
ˆ

x4 +x2 +1

(x − t)f (t)dt

H(x) =
x2

Calcule H (0).
8. Determine un mínimo de la función
ˆ

x2+1

√

G(x) =
−x2 −1

t4

dt
+ t2 + 1

9. Sea f derivable en R tal que f (0) = 0 y que f (x) > 0 , ∀x ∈ R . Sea
ˆ
F (x) =

x2 −3x+2

f (t)dt
0

Optimice la función F .
10.Hallar el área total de la gura limitada por las curvas y = x3 , y = 2x , y = x.
11. Calcule el área de la reguón limitada por las curvas:
(a) y = 4 − x2 , y = 4 − 4x
(b) y = x3 − 3x , y = x
(c) y...