Métodos Numéricos Para Valores Y Vectores Propios

Prelininares.

1.2

Valores y vectores propios. M´todo de las potencias y
e
Rayleigh.

1.2.1

C´lculo del Polinomio Caracterstico: ALGORITMO DE SOURIAU.
a
ENTRADA:
PROCESO:

la matriz A1 = A, p1 = traza(A1 ), n = dim (A)
para k = 1, . . . , n − 1
Calcular Bk = Ak − pk I, Ak+1 = Bk A y pk+1 =

1
traza(Ak+1 )
k+1

SALIDA: Bn−1 , An , valores pj y
P (λ) = (−1)n (λn − p1 λn−1− p2 λn−2 − · · · − pn )
Proposici´n 1.5
o
En el algoritmo de Souriau se tiene:
1. La matriz Bn = (0) y

1
B
pn n−1

es la inversa de A

2. P (λ) es el polinomio caracter´
ıstico de A.
Teorema 1.27 (discos de GERSCHGORIN)
n
Sea A matriz de orden n × n, sean fi =
|aij |, ck =
j =1
j =i

n

|aik | con i, k = 1, , n. Entonces:
i=1
i= k
n

• Los valores propios de A seencuentran en el conjunto F =

n

Ck

Fi y en el conjunto C =
i=1

k=1

• cada componente conexa de F o de C contiene tantos valores propios (contadas multiplicidades)
de A como discos haya en dicha componente.
(Fi =disco centrado en aii y radio fi y Ck =disco centrado en aii y radio ck )

1.2.2

Valor propio dominante.

Definici´n 1.9
o
Se dice que A tiene valor propio dominante siexiste un v.p. λ1 verificando: |λ1 | > |λi | i = 2, . . . , n
Nuestro pr´ximo objetivo es el c´lculo aproximado de λ1 . Para ello, supongamos que la matriz
o
a
es diagonalizable; es decir, existe una base de vectores propios {u1 , u2 , . . ., un } tales que Aui =
λi ui i = 1, . . . , n.

Apuntes de J. Lorente

21

Describamos pues el procedimiento conocido como m´todo de las potencias.Este construye sendas
e
sucesiones de vectores y valores con el objetivo de aproximar λ1 .

´
ALGORITMO BASICO
ENTRADA: A, x = 0 M =no de iter., tol=tolerancia
PROCESO: Para k = 1, . . . , M
• calcule y = A.x; λ(k) =

yj
xj

si xj = 0

• si y − λ(k) x < tol, entonces SALIDA 1 (FIN)
• x=y
SALIDA:
1. el valor propio dominante es: λ(k)
2. no se ha conseguido la aproximaci´nrequerida.
o

ALGORITMO NORMALIZADO
ENTRADA: A, x con x

∞

= 1, M = no de iter., tol = tolerancia

PROCESO: para k = 1, . . . , M
• calcule y = A.x; si xp = 1, λ(k) = yp
• si y − λ(k) x < tol, entonces SALIDA 1 (FIN)
• si |yp | = y

∞,

entonces x =

y
yp

SALIDA:
1. el valor propio dominante es: λ(k)
2. no se ha conseguido la aproximaci´n requerida.
o

22

Prelininares.´
ALGORITMO BASICO CON COCIENTES DE RAYLEIGH
ENTRADA: A, x == 0, M = no de iteraciones, tol
PROCESO: para k = 1, . . . , M
• calcule y = A.x; calcular σk =

xt Ax
xt x

• si y − σk x < tol, entonces SALIDA 1 (FIN)
• x=y
SALIDA:
1. el valor propio dominante es: σk
2. no se ha conseguido la aproximaci´n requerida.
o
Convergencia del m´todo de las potencias.
e
Teorema 1.28
Si A esdiagonalizable con valor propio dominante λ1 y u1 su v.p. asociado; entonces:
1. ∀x(0) ∈ Rn − {˜} tal que x(0) = a1 u1 + · · · + an un con a1 = 0, el m´todo de las potencias
0
e
normalizado es convergente; es decir,
lim λ(k) = λ1

lim x(k) = u1
˜

y

k→∞

k→∞

donde u1 es v.p. unitario asociado a λ1 .
˜
2. Si |λ2 | ≥ |λi | para i = 3, . . . , n, entonces: λ(k) − λ1

O

λ2
λ1k−1

3. Si A es sim´trica y usamos el m´todo de las potencias con cocientes de Rayleigh, entonces:
e
e
σk − λ1

O

λ2
λ1

2(k−1)

M´todo de deflaci´n
e
o
´
Este es un m´todo que es de utilidad si se conoce un valor y vector propio de A de forma que
e
el resto de valores propios se obtienen desde una matriz m´s sencilla como se indica en el resultado
a
siguiente:
Teorema1.29 (Deflaci´n)
o
Si λ1 y u1 son valor y vector propios de A y v es un vector tal que vt .u1 = 1; entonces, los valores
propios de la matriz B = A − λ1 (u1 vt ) son: 0, λ2 , . . . , λn (donde λi es v.p. de A)

Apuntes de J. Lorente

23

Elecciones particulares del vector v
1. WIELANDT: si u11 = 0 tomamos el vector, vt
resultante es:

0
0


b22
B= .
.
.
.
.
.

=...