Ma3002 Serie Taylor

Matem´
aticas
Avanzadas
para
Ingenier´ıa:
Serie de
Taylor
Departamento
de
Matem´
aticas
Sucesi´
on
Propiedades

Matem´
aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:
Serie de Taylor

Tma. Taylor
Ejemplos

Departamento de Matem´aticas

MA3002

Matem´
aticas
Avanzadas
para
Ingenier´ıa:
Serie de
Taylor
Departamento
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Matem´
aticas
Sucesi´
on

Intro
Suponga una serie de potencias
∞

ak (z − zo )k
k=0Propiedades
Tma. Taylor
Ejemplos

Para un valor de z que pertenezca al interior del c´ırculo de
convergencia de dicha serie, el valor l´ımite de la serie L es un
n´
umero complejo perfectamente definido a partir de z (aunque
el c´alculo de L sea un dolor de cabeza!). En este sentido, se
tiene una funci´
on matem´atica de variable compleja: el dominio
es el interior del c´ırculo de convergencia de la seriey cuya regla
de asociaci´on es el c´alculo del valor l´ımite de la serie para el z
en el dominio. En este mundo de funciones matem´aticas
definidas por series de potencias, ¿Cu´ales son sus propiedades?
¿Tendr´a su contraparte en este mundo una funci´on tradicional?

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Sucesi´
on
Propiedades
Tma. TaylorEjemplos

Suponga que f (z) es la funci´
on definida por la serie de
potencias
∞

ak (z − zo )k

f (z) =
k=0

que tiene como c´ırculo de convergencia |z − zo | = R, para
R = 0. Diremos que su dominio D es |z − zo | < R. Entonces
• f (z) es una funci´
on continua en D: Es decir, que si z1 y
z2 son puntos en el dominio entonces
|f (z1 ) − f (z2 )| → 0 cuando |z1 − z2 | → 0
• f (z) tiene derivada en todopunto de D. No s´
olo eso, hay

una funci´on cuyo dominio es tambi´en D y que da la
derivada de f (z), y m´as a´
un tal funci´
on derivada es
tambi´en una funci´
on definida como una serie de potencias
(ouch!). Y todav´ıa m´as (y para felicidad nuestra!):
∞

k ak (z − zo )k−1

f (z) =
k=1

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para
Ingenier´ıa:
Serie de
Taylor

M´as a´
un, hay una relaci´
on entre loscoeficientes de la serie de
potencias que define la funci´
on y las derivadas de la funci´on en
el centro del c´ırculo de convergencia:

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ak =
Sucesi´
on
Propiedades

f (k) (zo )
o f (k) (zo ) = k! · ak para k ≥ 0
´
k!

Por tanto, la serie de potencias debe tener la forma:

Tma. Taylor

∞

Ejemplos

f (z) =
k=0

f (k) (zo )
(z − zo )k
k!

Esta serie de llama serie de Taylor.Cuando zo = 0 la serie se
llama serie de Maclaurin:
∞

f (z) =
k=0

f (k) (0) k
z
k!

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Sucesi´
on

• Integraci´
on de series de potencias

Si se tiene definida una funci´
on de variable compleja f (z)
por medio de una serie de potencias en su c´ırculo de
convergencia

Propiedades
Tma. Taylor
Ejemplos

∞

ak (z −zo )k ,

f (z) =
k=0

entonces f (z) admite una funci´
on primitiva F (z) (es decir,
una funci´on que cumple F (z) = f (z)); y m´as a´
un F (z) es
tambi´en una funci´
on definida por serie de potencias en
z − zo (ouch!) que puede ser calculada integrando t´ermino
a t´ermino la serie de f (z) (aaah!).

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•Unicidad de las series de potencias

Si dos series de potencias en z − zo :
Sucesi´
on
Propiedades

∞

Ejemplos

∞

ak (z − zo )k y

Tma. Taylor

k=0

bk (z − zo )k
k=0

tienen en mismo radio de convergencia y coinciden en los
valores l´ımite en todo punto del interior del c´ırculo de
convergencia, entonces ak = bk .

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Matem´aticas

Teorema de Taylor
Sea f (z) una funci´
on anal´ıtica con dominio D y un punto zo en
el interior de D. Entonces, f (z) tiene una representaci´on en
serie de potencias en z − zo :

Sucesi´
on

∞

Propiedades

f (z) =

Tma. Taylor

k=0

f (k) (zo )
(z − zo )k
k!

Ejemplos

que es v´alida para el c´ırculo m´as grande con centro en zo y que
est´a contenido en D.

Zona de coincidencia de f (z) y...