serie de taylor

Serie de Taylor


A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.


La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
En matemáticas, una serie de Taylor es unarepresentación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
Laderivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienenalguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Índice
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1 Definición
2 Historia
3 Función analítica
4 Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables
4.1 Función exponencial y logaritmo natural4.2 Serie geométrica
4.3 Funciones trigonométricas
4.4 Funciones hiperbólicas
4.5 Función W de Lambert
5 Varias variables
6 Aplicaciones
7 Véase también
8 Referencias
9 Enlaces externos
Definición[editar]
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito deuna manera más compacta como la siguiente sumatoria:

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto(x − a)0 como  como  1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.
Cabe destacar que enuna serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma  siempre se puede hacer el cambio de variable  (con lo que  en la función a desarrollar original) para expresarla como  centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar , de manera que se desarrollaría  centrada en 0.
Historia[editar]
Elfilósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y despuésArquímedes. Fue a través delmétodo exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro desu trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma...