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Número racional
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Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo,1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distintode cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).

La escritura decimal de un número racionales, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; laexpresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia,resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.

Índice [ocultar]
1 Construcción formal
2 Aritmética de los números racionales
2.1 Definición de suma y multiplicación
2.2 Relaciones de equivalencia y orden
2.3 Existencia de neutros e inversos
2.4 Equivalencias notables
2.5 Propiedades
3 Escritura decimal
3.1 Representación racional de los números decimales
3.2Desarrollo decimal de los números racionales
3.3 Número racional en otras bases
4 Propiedades topológicas de los números racionales
5 Propiedades algebraicas
5.1 Número p-ádico
6 Véase también
7 Referencias
8 Bibliografía
9 Enlaces externos
Construcción formal[editar]
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse apartir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

2.5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

Para poder definir los números racionales debe definirse cuandodos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

[Expandir] Demostración
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

\begin{matrix}
\mathbb{Q} \subset\mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\
\mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) =
\left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\}
\end{matrix}

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}

Aritmética de losnúmeros racionales[editar]


Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación[editar]
Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
Relaciones de equivalencia y orden[editar]
Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando ad = bc \,
Los...