malaquias

MATEMÁTICAS

Acerca de las proposiciones.
Axioma: Proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.
Postulado: Proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración.
Teorema: Es una proposición que puede ser demostrada. En todo teorema se distinguen: la hipótesis y la tesis(consiste en demostrar)
Corolario: Es una proposición que sededuce de un teorema como consecuencia del mismo.
Lema: Es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema.
Escolio: Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.
Métodos de demostración:
i. Método directo: se basa en hipótesis ciertas dadas por las proposiciones , luego la deducción de que la conclusión Q es verdadera. Es decir
ii. Métodos indirectosMétodo por contra positiva: si . Es decir se toma como hipótesis la negación de la conclusión estricta como para luego obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como
Método por reducción al absurdo: sea consiste en
1. Se asume que la condicional es falsa, luego las proposiciones y son verdaderas.
2. De lo anterior se debe llegar a una contradicción, por lo que lacondicional debe ser verdadera necesariamente.
iii. Método por el principio de inducción matemática: se verifican 2 cuestiones, que se hacen suponiendo que p(x) significa que la propiedad p se cumple para el número x. Entonces:
Si p(1) es verdad
Si p(k) es verdad
Se tiene que p(k+1) también será cierto. Y así se concluye que p(k) es verdadero para todo
iv. Método por contraejemplo: se usa parademostrar falsedad en casos donde se refiera a “todos los elementos de un conjunto”, luego al indicar que la condición no se cumple para alguno, inmediatamente se refuta todo el caso en general.




CALCULO DIFERENCIAL

Funciones (dominio, rango (imagen), codominio (recorrido))
Una función es el conjunto de pares ordenados, tal que a cada elemento del conjunto de salida se le asigne uno y sóloun elemento de llegada.
La notación para una función es:
f={(x,y) : xEdomf e yEf(x)}
Sin embargo para expresar una función se hace por medio de la fórmula de la función que de forma general sería:
f:D1D2 (siendo D1 el dominio de f y D2 el rango de f)
y en forma particular puede ser expresada por ejemplo como:


El dominio de una función es el conjunto de los valores del conjunto deentrada, el codominio son todos los valores del conjunto de llegada en general y el rango son los valores que toma en efecto la función.
Se definen formalmente como:


Es claro que:
Un ejemplo es , donde su Codominio son todos los Reales, pero su Imagen son sólo los números positivos y el cero.

Una forma práctica de verlo es trazar líneas paralelas al eje de las ordenadas queintersecten la gráfica de la función en n puntos y proyectar los n puntos al eje de las abscisas, lo cual será el dominio; al hacer el mismo ejercicio de proyección, pero sobre el eje de las ordenadas con los m puntos que resultan de líneas paralelas al eje de las abscisas que intersectan la gráfica, se obtiene el rango de la función.
Tipos de funciones:
Inyectivas: también llamadas 1-1, son aquellas alas que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del rango, y que a cada elemento del rango le corresponda uno y sólo uno del dominio. Si se cumple alguna de las siguientes afirmaciones, entonces la función es inyectiva:




Una prueba para saber si una función es función inyectiva, es trazar una recta horizontal en cualquier lugar de la gráfica tal que solo la intersecte 1 veza lo sumo para que sea 1-1.
Sobreyectivas: también llamadas suprayectivas, son aquellas a las que a cada elemento del codominio les corresponde mínimo un elemento del dominio. De aquí se puede concluir que la imagen debe ser igual que el codominio, para que una función sea inyectiva. Formalmente:



Biyectivas: una función es biyectiva, si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva al mismo...