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Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campo F cuyas pruebas se dejan como ejercicios:
1. (Ley de la cancelación) Si x, y, z V y x + z = y + z, entonces x = y
2. El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x  V, x + 0 = x
3. Para toda x V, 0x = 0
4. Para todo aF y x Î V, (-a)x = -(ax)
5. Para toda a F, a0 = 0
Sedefine un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar que un subconjunto WV es un subespacio si y sólo si para todos a, b  F y x, y V, ax + by  V. Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de Mn x n(V) formados por matrices (1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero. Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera)subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo, esto no sucede con la unión (como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R2 que pasen por el origen).
Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que es precisamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementosde S, es decir,

Definimos la suma de un número finito de subconjuntos S1, ..., Sn de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W1, ..., Wn £ V, entonces
W1 + ... + Wn =
Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W1, W2  V, y es fácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x  W1 y y W2tales que z = x + y).
Definimos el que un subconjunto S  V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.
Para definir ladimensión de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S  V y x  V - S, entonces el conjunto S  {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.
TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.
TEOREMA I.2Si  es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m  n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S0  con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S  S0) = V.
Como consecuencia del teorema I.2 tenemos el siguiente resultado.
COROLARIO I.3 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todosubconjunto de V linealmente independiente con n elementos es también una base de V.
COROLARIO I.4 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo subconjunto de V con más de n elementos es linealmente dependiente. Por lo tanto, cualquier subconjunto linealmente independiente de V contiene como máximo n elementos.
Con estos resultados podemos finalmente argumentar que en un espaciovectorial con un conjunto generador finito, la dimennsión está bien definida, como así lo indica el siguiente corolario.
COROLARIO I.5 Si V posee una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V deberá tener también n elementos.
En caso de que un espacio vectorial no posea una base finita, la dimensión se define como infinito.
TEOREMA I.6 Si V es un espacio vectorial sobre un campoF tal que dim(V) = n, entonces para cualquier subespacio W  V se tiene que dim(W)  n, con dim(W) = n si y sólo si W = V.
El siguiente corolario refuerza el teorema I.2.
COROLARIO I.7 Si  es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita dim(V) = n y S  V es un subconjunto linealmente independiente (y por lo tanto |S| = k  n), entonces podemos encontrar un subconjunto S0  con...