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INDICE
Introduccion 3
Dedicatoria 4
CAPÍTULO 1
Integral Doble 5
Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles 5
Integral Iterada 6
Inversión De Orden De Una Integral Iterada 6
Cambio De Variables En Integrales Dobles 9
Teorema (Cambio De Variable): 9
Teorema (Cambio De Variables Para Integrales Dobles). 9
CAPÍTULO 2Integrales Triples 13
2. Propiedades De Las Integrales Triples 14
3. Calculo De Integrales Triples En Coordenadas Cartesianas. 15
4. Reducción De Integrales Triples A Integrales Iteradas 17
Cambio De Variables En Integrales Triples.- 18
Conclusiones 21
Bibliografia 22










INTRODUCCION



En este trabajo veremos cómo se aplica las integrales dobles y triples para hallar ya seaáreas o volúmenes respectivamente.
También usaremos el cambio de variable que nos ayuda a facilitar los problemas planteados y desarrollarlos de una manera fácil y sencilla sin tener que hacer cálculos complicados.
El trabajo que se muestra tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de integrales dobles y triples con cambios de variablesDedicatoria

.
















Si está definido sobre la región , entonces la integral doble de f sobre S se define como:

Propiedades Fundamentales De Las Integrales Dobles
1. Regla de la linealidad:
Sean a y b dos constantes y funciones integrables en la región cerrada S, entonces es integrable en la región S.

2. Regla de la dominación:
Si la funcionesson integrables en la región cerrada S y entonces:

3. Regla de la subdivisión:
Sea una función continua en la región cerrada S si la región donde son regiones cerradas y disjuntas, entonces:

4. Sea un función integrable en la región cerrada S , y supongamos de m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f en S, tal que , entonces:

Donde A(S) es el área de la región cerradaS.
Integral Iterada
El cálculo de la integral doble se hace por cálculo sucesivo de dos integrales; primero se integra con respecto una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Normalmente cuando se operan estas integrales se realizan de adentro hacia afuera, como se muestra a continuación:



Inversión De Orden De Una Integral Iterada
Es útil a vecesinvertir el orden de integración de una integral iterada pues nos da mayor facilidad en el cálculo.

Ejemplo:
Calcular
La primera 9inetgral que es respecto a y no se puede integrara entonces nos conviene realizar un cambio de orden:

Para ayudarnos a la inversión de orden es conveniente graficar la figura.










Invirtiendo el orden de integración tenemos:



Ejemplos DeIntegrales Dobles:
1. Calcular la integral doble ,donde S es unan región limitada por













Hallando los puntos de intersección:



Hallando la integral doble:






2. Calcular la integral doble , donde S es la región limitada por la elipse y situado en el primer cuadrante.










Del grafico se deduce que:

Hallando la integral:CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES
Para calcular las integrales dobles existe, además del teorema de fubini otro método que es la técnica de cambio de variables
TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLE):
Sea una función derivable con deriva continua en [a,b] y sea una función continua. Entonces se verifica que


Y para las integrales dobles seria:
TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALESDOBLES).
Sea :

Una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det PARA todo (u,v) U . Sea Entonces

La conclusión de este teorema también es válida si det se anula solo en los puntos de una curva C⊂ U .



Ejercicios:
1. Sea R la región triangular de plano XY limitado por : x = 0, y=0 , x + y = 1 encontrar el valor de :

Transformaremos la región R :...