Matemática Avanzada

Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales

Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

RESUMEN EDO’S 1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

(a) Si

1 N

 M N    y  x   f ( x) entonces se tiene el   
f ( x ) dx

factor integrante:

u ( x, y)  h( x)  e 
(b) Si

 1  M N     g ( y ) entonces setiene el  M  y x   

factor integrante:

dy dy  g (t )dt  c  g (t )  h( y )   dt h( y ) 
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
(a)

u( x, y)  h( y)  e 

f ( y ) dy

1.3.- ECUACIONES LINEALES
Son de la forma:

dy  f (ax  by  c) dx dy dz ab dx dx

Hacemos z  ax  by  c  Remplazando se obtiene:

dy  a(t ) y  b(t ) dt

y (t ) e 

a ( t ) dt

 e   a (t ) dt  b(t )  c     

dz  a  bf (z ) *ecuación de variables separables dx
(b)

*Fórmula de Leibniz

dy  y  f  dx x

1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO LINEAL 1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI

dy x y y dz dx  Hacemos z   dx x x2
Remplazando se obtiene:

dy  p( x) y  f ( x) y n con n  1 dx
Multiplicando la ecuación por y
1n cambio z  y se obtiene: n

dz f ( z )  z  dx x
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 es exacta ssi:

y luego haciendo el

dz  (1  n) p( x)  z  (1  n) f ( x) *Ecuación Lineal dx
1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI

M N  de no cumplirse esta igualdad la ecuación y x
no es exacta y se busca el factor integrante

dy  p( x) y q( x) y 2  f ( x) Se requiere de solución dx particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de 1 coordenadas y ( x)  y1 ( x)  y obtenemos una z ( x)
ecuación lineal.

Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales

Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen lossiguientes parámetros y condiciones:

1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
“La velocidad con que se enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire” Se tiene :

x 0 : Cantidad inicial en gramos
x(t ) : Número de gramos presentes en el instante t

Ts (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t Tm :
Temperatura del medio(aire)constante Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es:

dx : Ritmo de crecimiento de x dt  dx : Ritmo de decrecimiento de x dt

dTs  k Ts (t )  Tm  dt  Ts (t )  Tm  Ts (0)  Tm e kt
1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS

k : Constante de proporcionalidad
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:



dx  kx  x(t )  x0 e  kt dtDenominamos semivida al tiempo requerido para que la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está dado por:

T

ln( 2) k

x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t

1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS

V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque V s : Velocidad de salida del fluido del estanque
C e : Concentración de entrada del soluto al estanque
C s :Concentración de salida del soluto del estanque

N (t ) : Cantidad de bacterias en el instante t
dN  nacimiento s  muertes  a(t ) N  b(t ) N dt

 N (t )  N (0)e 

( a ( t ) b ( t )) dt

Vo : Volumen inicial de fluido en el estanque

Con a(t ) y b(t ) proporción de nacimientos y muertes respectivamente

x 0 : Cantidad inicial de soluto en el estanque

x' (t )  Ve  Ce  Vs  C sDonde: C s 

x(t ) v(t )

; v(t )  Vo  (Ve  Vs )  t

Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales

Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI Conociendo y1(x), la otra solución particular y2(x) la calculamos según:

x1 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 1 de
capacidad V1 en el tiempo t

e y 2 ( x)  y1 ( x)  dx *...