Matemática I

Matemática I
Semana 10

Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones polinómicas de grado superior
Inecuaciones racionales

Inecuaciones cuadráticas
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0

, con a ≠ 0

ax 2  bx  c  0

Para su resolución, utilizaremos el método de
los puntos críticos
3

3x2 – 21x + 36 ≥ 0

Ejemplo 1

Sol.

3(x – 4) (x – 3) ≥ 0
Puntos críticos:
x–4=0 
x–3=0 

+

–x=4
x=3

+

3
4
El signo de la inecuación es ≥ 0, entonces el CS estará
conformado con los intervalos cerrados signados con “+”

CS =

]-∞, 3 ]  [4, +∞ [
4

Ejemplo 2:

Encuentre el C.S. de cada inecuación:

1.

2x  x2  0

2.

2 x  13 x  15

3.

x 2  2 x  1 x

4.

xx  4  8

5.

x  1

C .S .  0 ; 2 

15 

C .S .    1 ; 
2


2

2

6

C.S .  



C.S .  2  12 ; 2  12



 

C.S .    ; 1  6  1  6 ;  

5



6.

4 x 1  x   1  0

7.

3 x 3 x  10   25

8.

12 x  9  4 x 2

9.
10.





2 x 2  2  5x
3x  x  1
2

 1
C .S .   
 2


C .S .    


5

3

C.S .  
C.S .  
1  13 1  13 
CS  
;

6
6



6

Ejemplo 3: Encuentre el C.S. de la inecuación:
abx2 – a2x  b2x – ab
Ejemplo 4:

; 0ab

a b
C .S .   ,
 ba 

¿Para qué valor de n, la inecuación x2 + 2x + n > 10
se verifica para todo valor real de x ?

n   11 ;   

Ejemplo 5:
¿Para qué valor de m, la inecuación x2 + 2mx + m > 3/16
se verifica para todo valor real de x ?

m  14 ; 34 

7

Ejemplo de aplicación:
El precio p de cierto artículo depende de la cantidad
demandada q y está dado por p = 600 – 5q. Producir una
unidad cuesta $75 ylos costos fijos alcanzan los $8 000
mensuales.
a) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse cada mes
para obtener ingresos de por lo menos $18 000?
b) ¿Qué precio deberá fijarse para obtener una utilidad de al
menos $5 500?

Sol. a)

I  p.q



 5q  600 q  18000
2

q  60 

2

I  600  5q  q



q 2  120 q  3600  0

0

Rp. Deben producirse 60 unidades.

8

Ejemplo de aplicación:Sol. b) C  75 q  8000

I  5 q 2  600 q

;

U  5q 2  600 q  75q  8000 
U  5q 2  525 q  8000

 5q 2  525 q  8000  5500

q 2  105 q  2700  0
q  45 ; 60 




q  45 q  60   0
p  300 ; 375 

Rp. El precio fijado debe ser de $300 a $375.
9

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Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones polinómicas de grado superior
Inecuaciones racionales

Inecuacionespolinómicas
an x  a n 1 x
n

n 1

Inecuaciones Polinómicas

 ...  a 2 x 2  a1 x  a0  0

an x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0  0
an x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0  0

, con a ≠ 0
n

an x n  a n 1 x n 1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0  0

Para su resolución, utilizaremos el método de
los puntos críticos
11

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación:

x  3x  6 x 8  0
3

2

Solución:

( x  2)( x  1)( x  4)  0
_
( )()() -2

_

+
(  )()()

1

(  )( )()

+

4

(  )( )( )

C .S :  2;1  4;  
12

Ejemplo 2:

Encuentre el C.S. de cada inecuación:

1.

x  1 x  6x  2  0

C .S   2;  1  6;  

2.

 x x  7  x  5  0

C .S .   ;5  0;7

3

2




x  4  0
x

1
x

2
3.

4.

C .S .    4 ;  1

1
3



C
.S
.



;


0

;


10 x  13 x  3x  0

 2

5 
4

3

2

2
2




5  x  0
2

x
x

3
5.

C .S .   3 ; 2  5 ;  

13

6.

x 3  3x 2  3x  2  0

7.

x 3  4 x 2  17 x  60  0

C .S .   ;2
C .S .   ;4  3 ; 5

8.

x 4  2 x 3  16 x 2  2 x  15  0

9.

x 4  3 x 3  13 x 2  51 x  36  0

10.

C .S .   ;3   1;1  5;  

x 4 6 x 3  3 x 2  8 x  48  0

C .S .   4 ; 1  3
CS  4
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Inecuaciones cuadráticas
Inecuaciones polinómicas de grado superior
Inecuaciones racionales

Inecuaciones racionales
Son aquellas cuyo primer término es una expresión de forma
P( x)
Q( x)

con P(x) y Q(x) polinomios (Q(x)0) y segundo término cero,
relacionados por las relaciones de desigualdad < ,  , > ó ....