Matem. Discreta

Matem´tica Discreta
a
Alumno:

DNI:

I. Inform´tica
a

I.T.I. Gesti´n
o

I.T.I. Sistemas

Grupo:

(06/09/05)
o
u
u
Ejercicio 1. Demuestra por inducci´n que para cualquier n´mero natural n ≥ 0, el n´mero n(n2 + 2)
es m´ltiplo de 3.
u
Soluci´n:
o
En primer lugar, se comprueba f´cilmente que 0(02 + 2) = 0 es m´ltiplo de 3.
a
u
Supongamos que n(n2 + 2) = 3k, para k unn´mero natural. En ese caso, se tiene que
u
(n + 1)((n + 1)2 + 2)

= (n + 1)(n2 + 2n + 1 + 2) =
= n(n2 + 2 + 2n + 1) + 1(n2 + 2n + 3) =
= n(n2 + 2) + n(2n + 1) + n2 + 2n + 3 =
= n(n2 + 2) + 2n2 + n + n2 + 2n + 3 =
= 3k + 3n2 + 3n + 3 = 3(k + n2 + n + 1)

Por el principio de inducci´n deducimos que n(n2 + 2) es m´ltiplo de 3 para cualquier n ∈ N.
o
u
Ejercicio 2. ¿Cu´ntas soluciones tienela ecuaci´n diof´ntica
a
o
a
210x − 91y = 77
que verifiquen que −500 ≤ x, y ≤ 500?
Soluci´n:
o
Calculamos el m´ximo com´n divisor de 210 y 91 haciendo uso del algoritmo de Euclides.
a
u
210 = 91 · 2 + 28
91 = 28 · 3 + 7
28 = 7 · 4
Vemos que mcd(210, 91) = 7, y puesto que 7|77, la ecuaci´n tiene soluci´n.
o
o
Hallamos una soluci´n particular de 210 u + 91 v = 7:
o
7 = 91 + 28 ·(−3) =
= 91 + (210 + 91 · (−2)) · (−3) = 210 · (−3) + 91 · 7
Multiplicando por 11, obtenemos:
77 = 210 · (−33) + 91 · 77 = 210 · (−33) − 91 · (−77)
Puesto que

210
7

= 30 y

91
7

= 13, la soluci´n general de la ecuaci´n 210x − 91y = 77 es:
o
o
x = −33 + 13k
y = −77 + 30k

k∈Z

Acotamos ahora las posibles soluciones:

−500 ≤ −33 + 13k ≤ 500 =⇒ −467 ≤ 13k ≤ 533 =⇒

533
−467≤k≤
=⇒ −38 ≤ k ≤ 41
13
13

−500 ≤ −77 + 30k ≤ 500 =⇒ −423 ≤ 30k ≤ 577 =⇒

577
−423
≤k≤
=⇒ −14 ≤ k ≤ 19
30
30

Por tanto, la ecuaci´n 210x − 91y = 77 tiene treinta y cuatro soluciones comprendidas en el intervalo
o
[−500, 500] (las correspondientes a los valores de k = −14, −13, · · · , 18, 19).

Ejercicio 3. Calcula de forma exacta la suma de todos los n´meros de la forma 3 + 5k,con k ≥ 0, y
u
que sean menores o iguales que 12345.
Soluci´n: Se tiene que 3 + 5k ≤ 12345 =⇒ 5k ≤ 12342 =⇒ k ≤ 2468. Por tanto, hemos de calcular la
o
suma:
2468

(3 + 5k)
k=0

y esa suma vale:
2468

(3 + 5k) =

k=0

2468

3+

k=0

2468

5k =

k=0

= 3 · 2469 + 5 ·

2468

k

k=0
2468·2469
2

= 7407 + 5 ·
=
= 7407 + 5 · 3046746 = 7407 + 15233730 = 15241137Ejercicio 4. Calcula cuantos elementos tiene A = Z7 [x]x3 +2x+3 =
¿Es A un cuerpo?.

Z7 [x]
(x3 +2x+3) .

Soluci´n: Se tiene que
o
A = {[q(x)] : q(x) ∈ Z7 [x]; gr(q(x)) ≤ 2}
es decir, A est´ en biyecci´n con los posibles restos de dividir un polinomio de Z7 [x] por x3 + 2x + 3. Por
a
o
tanto,
A = {[a0 + a1 x + a2 x2 ] : ai ∈ Z7 }
El n´mero de elementos de A es entonces 7 · 7 · 7 =343 (pues tenemos 7 posibilidades para elegir
u
cada uno de los coeficientes a0 , a1 y a2 ).
Para estudiar si A es o no un cuerpo, necesitamos comprobar si el polinomio p(x) = x3 + 2x + 3
es o no irreducible, y al ser dicho polinomio de grado 3 basta comprobar si tiene o no ra´
ıces. Se tiene
entonces:
p(0) = 03 + 2 · 0 + 3 = 3
p(1) = 13 + 2 · 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
p(2) = 23 + 2 · 2 + 3 =1 + 4 + 3 = 1
p(3) = 33 + 2 · 3 + 3 = 6 + 6 + 3 = 1
p(4) = 43 + 2 · 4 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5
p(5) = 53 + 2 · 5 + 3 = 6 + 3 + 3 = 5
p(6) = 63 + 2 · 6 + 3 = 6 + 5 + 3 = 0
Como tiene una ra´ (6), deducimos que el polinomio no es irreducible, luego A no es un cuerpo.
ız
Ejercicio 5. Calcula el valor de a para que el polinomio p(x) = x2 +118x+a ∈ Z127 [x] tenga exactamente
una ra´
ız.
Soluci´n:o
Para que el polinomio tenga s´lo una ra´ ´ste ha de ser de la forma (x − b)2 . Para que este polinomio
o
ız, e
adopte esta forma, la unica posibilidad es que sea x2 + 118x + a = (x + 59)2 = x2 + 118x + 592 =
´
x2 + 118x + 52. Por tanto, a = 52.

Tambi´n podr´ resolverse teniendo en cuenta que el polinomio debe tener una ra´ doble, y eso ocurre
e
ıa
ız
si, y s´lo si, 1182 −...