Matem Ticas

Matemáticas 1.

9. Radicales.

1

9. RADICALES.
Propiedades de los radicales.

•

⎧n → índice
⎪
a ⋅ n x ⎨x → radicando
⎪a → coeficiente
⎩

•

n

•

Radicales semejantes.– Los que tienen igual índice e igual radicando.

•

x n = n xm

x = b ⇔ bn = x

m

• Simplificación de radicales.– Si en n x m , m y n son divisibles por un mismo número,
entonces se pueden dividir ambos y el radical obtenido esigual al primero.
Ej:
•

4

25 = 4 5 2 = 5

Obtención de radicales con un índice común.– Dados los radicales

n1

a1 ,

n2

a 2 , ...,

ni

a i , se pueden obtener radicales iguales a cada uno de ellos en los que el índice sea el mínimo común múltiplo de los índices n1, n2, ..., ni. Para ello, se eleva el radicando al resultado de
dividir dicho mínimo común múltiplo entre el índice que teníainicialmente cada raíz.
2,

Ej:

3

3x 2 y

4

x 3 se pueden poner con el mismo índice, que será el m.c.m. de 2, 3 y

4.

m.c.m.(2, 3, 4) = 12.
Entonces:

2 = 12 2 6 ,

3

( )

3 x 2 = 12 3 x 2

4

= 12 3 4 x 8 ,

4

( )

x 3 = 12 x 3

3

= 12 x 9

• Extracción de factores.– Dado el radical m x n , si n ≥ m pueden extraerse factores. Para
ello, se divide n entre m. Si se obtiene p de cociente y q deresto, entonces:
m

xn = xp ⋅ m x q

• Introducción de factores.– Los coeficientes se pueden introducir dentro de la raíz multiplicando su exponente por el índice de la raíz.
Ej:

3 x 2 ⋅ 3 2x 2 = 3 2x 2 ⋅ 3 3 x 6 = 3 54 x 8

• Suma y resta de radicales.– Sólo se pueden sumar o restar los radicales que sean semejantes. Se efectúa sumando o restando los coeficientes y dejando igual el índice y elradicando.
Ej:

7 − 3 7 + 2 2 = −2 7 + 2 2

Matemáticas 1.

9. Radicales.

2

• Producto y división de radicales.– Primero, se les pone a todos los radicales el mismo
índice. Después, se emplean las siguientes propiedades:
m

x ⋅m y = m x⋅y

•

Potencia de una raíz:

•

Raíz de una raíz:

n m

( x)

n

m

m

x

m

y

=m

x
y

= m xn

x = m⋅n x

• Racionalización de fracciones.– Dada una fracción conradicales en su denominador,
racionarla consiste en obtener una fracción equivalente a ella que no tenga radicales en el
denominador.
a) Fracciones del tipo

N
a⋅ x
m

n

.– Se multiplica numerador y denominador por

m

x m −n .

N

, donde b puede ser un número, un polinomio u otra raíz
b+a⋅ x
cuadrada.– Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador,
que es b − a ⋅ x .b) Fracciones del tipo

1.

Expresa como radicales las siguientes potencias en las que aparecen exponentes fraccionarios. Expresa los resultados sin que aparezcan exponentes negativos.
2
5

2 =

Ej:
a) 3

−

5

22

1
3

⎛ 1⎞
b) ⎜ ⎟
⎝2⎠

−

⎛2⎞
d) ⎜ ⎟
⎝3⎠

1
2

5

2
5

f)
6

1 5
⎤
⎡
3
5
⎛
⎞
⎢
e) ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎝ 12 ⎠ ⎥
⎦
⎣

3

⎛5⎞4
c) ⎜ ⎟
⎝2⎠

2.

−

2
− ⎤4
⎡
3
3
⎛
⎞
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎝ 4 ⎠ ⎥
⎦
⎣
2

1
− ⎤3
⎡
5
1
⎛⎞
g) ⎢⎜ − 2 ⎟ ⎥
⎢⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
⎣

Efectúa las siguientes operaciones con potencias. Expresa los resultados como producto o división de potencias o radicales de números primos, sin que aparezcan exponentes
negativos ni fraccionarios.
1
3

3
2

8 ⋅ 4 : 22 = 22

Ej:
2
5

1
3

1
a) 3 ⋅ 27 ⋅ .
9
b) 2

−

1
5

⋅ (4 )

1
3

⎛ 1⎞
:⎜ ⎟
⎝2⎠

c) 98
−

2
5

−

1
5

⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 14 ⎠

−

1170
780

1

: 28 3Matemáticas 1.

⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠

−

9. Radicales.

2
3

d)

1
− ⎤
⎡
2
4
⎞
⎛
⋅ ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎝ 9 ⎠ ⎥
⎦
⎣

⎛4⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠

3.

3
4

2
5

( )

)
⋅ 0'6

−

3
2

( )

)
⋅ 0'3

−1

Extrae fuera de cada radical los factores que puedas.
3

Ej:
a)

3

c)

4

256 = 4 ⋅ 3 4

24a 3 b 6 c 5 d
3

b)

4.

−

−

3

27 x 6 y

16 ⋅ 27 ⋅ 2401 ⋅ 25

Introduce dentro de cada radical los factores que estén fuera. Expresa el radicando
comoproductos o divisiones de potencias de números primos, sin que aparezcan exponentes negativos.
2 ⋅ 32 ⋅ 2 =

Ej:

23 ⋅ 3 4

a) 1200 ⋅ 5 300

c) 6 ⋅ 3

b) 3 x 2 y ⋅ x ⋅ z

5.

8
45

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

5 3 + 3 −2 3 = 4 3

Ej:

a) 5 3 + 27 − 2 3

c) 9 48 − 12 − 2 27 + 3 75

8 1
2
2
− ⋅
+ 2⋅
5 2 45
245

f) −

1 4
3
6
+
− 2⋅
3 27
72
3

45 x 3 + 5 x 2 ⋅ y − 80 x 3...