matematica 4

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
B ENITO J. G ONZÁLEZ RODRÍGUEZ (❜❥❣❧❡③❅✉❧❧✳❡s)
D OMINGO H ERNÁNDEZ A BREU (❞❤❛❜r❡✉❅✉❧❧✳❡s)
M ATEO M. J IMÉNEZ PAIZ (♠❥✐♠❡♥❡③❅✉❧❧✳❡s)
M. I SABEL M ARRERO RODRÍGUEZ (✐♠❛rr❡r♦❅✉❧❧✳❡s)
A LEJANDRO S ANABRIA G ARCÍA (❛s❣❛r❝✐❛❅✉❧❧✳❡s)
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna

Índice
1. Introducción y conceptos básicos

12. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

2

2.1. Ecuaciones con variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82.4. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

12

3.1. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2. Problemas de desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

14

3.3. Problemas de crecimiento poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4. Problemas de reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.5. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.6. Problemas de temperatura . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.7. Caída de un cuerpo en un medio resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

OCW-ULL 2013

E CUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

1.

1/29

Introducción y conceptos básicos

Definición 1.1. Una ecuación diferencial es aquella quecontiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplo 1.2. Son ecuaciones diferenciales:
dy
+ 5xy = ex ,
dx
d 2 y dy
−
+ 6y = 0,
dx2 dx
ya que además de la variable independiente x y de la función y = y(x), está presente la derivada primera de
ésta, y (x).

Observación 1.3. Nótese que la propia ecuación diferencialdetermina claramente cuál es la variable independiente y cuál la función incógnita.
Ejemplo 1.4. En la ecuación diferencial
dx dy
+
= 2x + y
dt dt
la variable independiente es t, y las funciones incógnitas, x(t) e y(t).

Definición 1.5. El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas que comparecen en la ecuación.

Ejemplo 1.6. La ecuación diferencial
d2y
dy+5
2
dx
dx

3

− 4y = ex

es de segundo orden. La ecuación diferencial

xy − ex y + 4 sin xy = tg x

es de tercer orden.
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OCW-ULL 2013

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B. G ONZÁLEZ , D. H ERNÁNDEZ , M. J IMÉNEZ , I. M ARRERO , A. S ANABRIA

Definición 1.7. Una ecuación diferencial se dice ordinaria cuando la función incógnita sólo depende de una
variableindependiente. En contraposición, en las ecuaciones en derivadas parciales la función incógnita
depende de varias variables independientes.

Ejemplo 1.8. Las ecuaciones de los Ejemplos 1.2, 1.4 y 1.6 son ecuaciones diferenciales ordinarias.

2.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
A veces las ecuaciones diferenciales de primer orden se escriben en la forma

M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0.

Por ejemplo, si suponemos que y representa la variable dependiente en (y − x) dx + 4x dy = 0 entonces y =
dy/dx, y al «dividir» ambos miembros de la ecuación por dx obtenemos la expresión equivalente 4xy + y = x.
Definición 2.1. En general, una ecuación diferencial de primer orden adopta la forma

F(x, y, y ) = 0,

o bien

dy
= f (x, y),
dx

donde, en ambos casos, y =...