Matematica discreta

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Apuntes de Matemática Discreta

1. Preposición, Tablas de verdad, Tautología y Contradicción
2. Relación de pertenencia
3. Conjunto de partes
4. Partición
5. Inducción matemática
6. Sucesiones por recurrencia
7. Reglas de divisibilidad
8. Cambio de base
9. Producto cartesiano
10. Relaciones
11. Funciones
12. Relaciones definidasde un conjunto en si mismo
13. Clausura de una relación
14. Composición de funciones
15. Relación de equivalencia
16. Conjunto cociente
17. Operaciones binarias
18. Conjuntos ordenados
19. Grupos
20. Subgrupos
21. Redes, subredes, átomos
22. Lenguajes
23. Autómatas finitos

LÓGICA Y CÁLCULO PROPORCIONAL:
Preposición: Cualquier frase susceptible de adquirir unvalor de verdad. En general se compone de la siguiente manera: (SUJETO + VERBO + PREDICADO)

Tablas de verdad:
|P |Q | |P(Q |P(Q |P(Q |P(Q |P(Q |
| | | | | | | | |
|V |V | |V |V |F |V |V |
|V |F | |F |V |V |F |F |
|F |V | |F|V |V |F |V |
|F |F | |F |F |F |V |V |
| | | | | | | | |

Tautología: El valor de verdad de toda la columna es Verdadero.
Contradicción: El valor de verdad de toda la columna es Falso.
-----------------------------------------------
Tautología: ~Contradicción.Contradicción: ~Tautología.
Si el antecedente de una implicación es Falso, el valor de verdad es Verdadero

Leyes de De Morgan:

|P |Q | |~ (P(Q) |
| | | | |
|an = 3an-1 - 2 |1º |1º |No homogénea |
|an =a²n-1 |2º |1º |Homogénea |
|an = 1-a³n-1 |3º |1º |No homogénea |
|an = 4an-1 – 2a²n-2 |2º |2º |Homogénea |
|an = a³n-2 + 1 |3º |2º |No homogénea |
|an = an-1 + an-2+ an-3 |1º |3º|Homogénea |
|an = 4an-5 + 2an-3 + an-1 |1º |5º |Homogénea |
| | | | |

Resolución de ecuaciones homogéneas de primer grado, segundo orden:
a) Se pasan al primer miembro los términos an, an-1, an-2, los cuales también podrían figurar como an+2, an+1,an
b) Se reemplaza an por r², an-1 por r y an-2 por 1, quedando una ecuación de segundo grado con raíces reales y distintas de r1 y r2.
n n
c) Se plantea a = u · r1 + v · r2

d) Debemos tener como dato los valores de los dos primeros términos de la sucesión:
A0 = k y A1 = k’. Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2x2: u + v = k y u·r1 + u·r2= k’. La resolución de este sistema no da como resultado los valores u0 y v0, que son números reales conocidos.

e) la solución general es:

Ejemplificación:

an= 2/3an-1 +1/3an-2

a0 = 2 Esto es dato
a1= 5

Primero efectuamos el cambio de variable de la manera indicada

1
r² - 2/3 r - 1/3 = 0
-1/3

Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.Luego reemplazamos los valores de las raíces en la fórmula general:
n n
a = u · 1 + v · (-1/3)

Ahora debemos usar los datos que nos dieron par resolver el problema: El polinomio especializado en 0 da como resultado 2, y especializado en 1 da 5 (Ver llave al inicio del problema donde se aclara cuales son los datos). Por lo tanto podemos elaborar el siguiente...