Matematica I

Unidad III. Derivadas
Documento base para los temas:
1. Derivadas 2. Reglas para las Derivadas 3. Derivadas de funciones compuestas

Matemática ● Unidad III. Derivadas ● Pág. 2

© Universidad “Dr. Rafael Belloso Chacín” 1a. Edición
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra bajo cualquier forma, electrónica o mecánica incluyendo elfotocopiado, el almacenamiento en algún sistema de recuperación de información, o el grabado, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Autor >> Yadira Matos Diseño Instruccional >> Elizabeth Paredes Diseño Gráfico >> Michele Casasanta Especialista en Computación >> Karla Pérez

Maracaibo, Venezuela 2006.

Matemática ● Unidad III. Derivadas ● Pág. 3

Contenido
Tema 1. Definición.................................................................................................................4 Tema 2. Reglas para las Derivadas ....................................................................................12 Tema 3. Derivadas de funciones compuestas ....................................................................20 Tema 4. Derivadas de orden superior................................................................................31 Tema 5. Derivadas de funciones implícitas........................................................................36

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Tema 1. Definición
La derivada de una función f(x) cualquiera es otra función f(x), que se obtiene por la solución de un límite que presenta una indeterminación 0/0, porla siguiente expresión:

f ( x)  Lim
h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Donde, f (x) : f prima de x (derivada de la función).

Otras denotaciones pueden ser:
 

dy : que se lee diferencial de y respecto al diferencial de x. dx y  : y prima.

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Ejemplo III.1. Si f ( x)  x  2 , determine la derivada por definición f (x) .

Por laecuación: f ( x)  Lim
h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Donde f ( x)  x  2 y f ( x  h)  x  h  2

Observa que f(x+h), se encuentra al sustituir el valor de x por x+h en la función f(x). Luego en la ecuación:
f ( x)  Lim f ( x  h)  f ( x ) h 0 h ( x  h  2)  ( x  2)  Lim h 0 h xh2x2  Lim h 0 h h  Lim  1 h 0 h

Simplificando términos semejantes Por propiedad 1 de loslímites

Se concluye que la derivada de la función f ( x)  x  2 es f ( x)  1

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Ejemplo III.2. Si f ( x)  x 2  x  4 , determine la derivada por definición f (x) .

Por la ecuación: f ( x)  Lim
h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Donde f ( x)  x 2  x  4 y f ( x  h)  ( x  h) 2  ( x  h)  4

Observa que para f(x+h) se presenta eldesarrollo de un producto notable que resolveremos como sigue:

f ( x  h)  ( x  h) 2  ( x  h)  4  x 2  2 xh  h 2  x  h  4

Luego, en la ecuación:
x 2  2 xh  h 2  x  h  4  ( x 2  x  4) h 0 h 2 2 x  2 xh  h  x  h  4  x 2  x  4  Lim h 0 h 2 2 xh  h  h  Lim h 0 h

f ( x)  Lim

Observa que si sustituimos el valor de h, se te presenta una indeterminación 0/0 quedebemos resolver, o sea: 2 x(0)  (0) 2  0 0 f ( x)  Lim  h 0 0 0 Luego, factorizando el polinomio numerador, obtenemos:

f ( x)  Lim
h 0

h(2 x  h  1) 2 xh  h 2  h  Lim  Lim(2 x  h  1) h 0 h0 h h

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Sustituyendo el valor de h=0 tenemos:

f ( x)  Lim(2 x  h  1)  Lim 2 x  0  1  Lim 2 x  1
h 0 h 0 h 0

Y por lapropiedad 1 de los límites obtenemos:

f ( x)  2 x  1

Ejemplo III.3. Si f ( x )  x  3 , determine la derivada por definición f (x) .

Por la ecuación: f ( x)  Lim
h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Donde f ( x)  x  3 y f ( x  h) 

xh3

Luego:

f ( x)  Lim
h 0

xh3 x3 h

Observa que nuevamente si sustituimos el valor de h obtendremos la indeterminación 0/0,...