Matematicas 3

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Unidad 1

Vectores y espacio tridimensional
z

k
y
j
i
x

En esta unidad Hasta ahora hemos efectuado la mayoría de los intentos en cálculo en la
tierra plana del plano cartesiano bidimensional o espacio 2. En las siguientes unidades
centraremos el interés en examinar la vida matemática entres dimensiones o espacio 3.
Iniciamos el estudio con un examen de los vectores en dos y tres dimensiones.
Competencias específicas
• Analizar de manera intuitiva campos escalares y vectoriales del entorno.
• Identificar la manifestación de un vector en distintos contextos.
• Resolver con soltura operaciones entre vectores.
• Determinar ecuaciones de rectas y planos dados, así como asociargráficas de
planos y rectas a ecuaciones dadas.

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UNIDAD 1 Vectores y espacio tridimensional

1.1

Vectores en el espacio bidimensional

Introducción Hasta este punto hemos concentrado el estudio, principalmente, en las funciones de una sola variable cuyas gráficas existen en un plano bidimensional. En esta sección iniciamos el estudio del cálculode varias variables con una introducción a los vectores en el espacio bidimensional. En secciones y unidades subsecuentes el enfoque principal será en vectores y
funciones definidos en el espacio tridimensional.
Escalares En ciencia, matemáticas e ingeniería se distinguen dos cantidades importantes:
escalares y vectores. Un escalar es simplemente un número real y se representa mediante una
letraitálica minúscula, a, k o x. Los escalares se usan para representar magnitudes y pueden tener
unidades específicas asociadas; por ejemplo, 80 pies o 20 °C.
B
v ϭ AB
A
FIGURA 1.1.1 Un vector del
punto inicial A al punto final B

Vectores geométricos Por otro lado, un vector o vector de desplazamiento puede considerarse como una flecha que conecta dos puntos A y B en el espacio. La cola de la flechase llama
punto inicial y la punta de la flecha se denomina punto final. Como se muestra en la FIGURA 1.1.1,
un vector puede representarse utilizando una letra negrita tal como v o, si deseamos enfatizar los
¡
puntos inicial y final A y B, utilizamos AB para representar el vector. Ejemplos de cantidades
vectoriales mostrados en la FIGURA 1.1.2 son el peso p, la velocidad v y la fuerza de fricciónretardadora Fƒ.
v

p

p

Ff
a)
FIGURA 1.1.2 Cantidades vectoriales

b)

c)

¡

La pregunta relativa a cuál es la
dirección de 0 suele responderse
diciendo que al vector cero se le
puede asignar cualquier dirección. Para agregar más al respecto, 0 se necesita para tener un
álgebra vectorial.

Notación y terminología La distancia entre los puntos inicial y final de un vector AB se
¡
denominalongitud, magnitud o norma del vector y se denota mediante 0 AB 0. Dos vectores que
tienen la misma magnitud y la misma dirección se dice que son iguales. Así, en la FIGURA 1.1.3
¡
¡
¡
¡
tenemos AB ϭ CD . El negativo de un vector AB , escrito Ϫ AB , es un vector que tiene la misma
¡
magnitud que AB pero la dirección opuesta. Si k 0 es un escalar, el múltiplo escalar de un
¡
¡
¡
vector, k AB , es un vectorque es Ϳk 0 veces la longitud de AB . Si k 7 0, entonces k AB tiene la
¡
¡
misma dirección que el vector AB ; si k 6 0, entonces k AB tiene la dirección opuesta a la de
¡
¡
AB . Cuando k = 0, afirmamos que 0 AB ϭ 0 es el vector cero. Dos vectores son paralelos si y
sólo si no son múltiplos escalares uno del otro. Vea la FIGURA 1.1.4.
D

B

CD
AB

Խ CD Խ ϭ 3
AB

Խ AB Խ ϭ 3

A
FIGURA 1.1.3 Vectoresiguales

AB
ϪAB

3 AB
2

Ϫ 14 AB

C
FIGURA 1.1.4 Vectores paralelos

Suma y resta Es posible considerar a dos vectores con el mismo punto inicial común, tal
¡
¡
como A en la FIGURA 1.1.5a). Así, si vectores no paralelos AB y AC son los lados de un paralelo¡
gramo en la figura 1.1.5b), se dice que el vector que está en la diagonal principal, o AD , es la
¡
¡
suma de AB y AC . Se escribe
¡

¡...