matematicas avanzadas

MATEMÁTICAS V
Bernardo Acevedo .

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
Junio 2005

ii

Contenido
1 Series de Fourier
1.1 Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Propiedades de las funciones pares e impares
1.2 Funciones períodicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Algunas Propiedades . . . . . . . . . . . . .
1.3 Criterio de Dirichlet . . . . .. . . . . . . . . . . .
1.3.1 Derivación e integración en series de fourier
1.4 Serie de Fourier en forma Compleja . . . . . . . . .
1.5 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Integral Compleja de Fourier . . . . . . . . . . . . .

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2 Transformada de Fourier

1
1
1
2
2
6
21
32
40
46
51

2.1 Función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Algunas propiedades de lastransformadas de Fourier
2.2.1 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Corrimiento con respecto a la frecuencia . . .
2.2.4 Corrimiento con respecto al tiempo . . . . . .
2.2.5 Propiedad de la derivada . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Potencial por f(t) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Simetría . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

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59
59
59
61
63
6571
72

2.2.8 Integración en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.9 Transformada de una función periódica . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.10 Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.11 Transformada de fourier del tren in…nito de impulso . . . . . . . . . 96
iii

iv

CONTENIDO

3 Transformada Zeta
3.1Generalidades. . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . .
3.3 Algunos Métodos para hallar la inversa
3.3.1 Método de los residuos . . . . .
3.3.2 Método de Fracciones Parciales
3.3.3 Método de la división . . . . . .
3.3.4 Método de la convolución . . .

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4 Ecuaciones derivadas parciales

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99
102
114
114116
117
117
123

4.1 Algunas ecuaciones de la física matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2

4.3

4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10

4.1.1 Punto Ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Punto singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Polinomios deLegendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 La fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre . . . . . . . .
4.2.5 Serie de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación diferencial de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....