Matematicas avanzdas

UNIVERSIDAD POLITECNICA “SALESIANA”

NOMBRE: CHILIQUINGA JUAN STALIN

MATERIA: MATEMATICAS AVANZADA

NIVEL 5- G1

TEMA TRANSFORMADA DE FOURIER

La transformada de Fourier
En esta sección se presentan algunas rutinas de Matlab de interés en relación con la
utilización de transformadas de Fourier en análisis de circuitos.
En la primera de ellas se indica cómo representar el espectrode amplitudes y el de
fases de una función periódica expresada como serie de Fourier en su versión trigonométrica.
Los coeficientes de los elementos han de ser obtenidos aparte y las funciones que los
describen son datos en la rutina de Matlab correspondiente. Podría considerarse el caso
análogo en el que se parte de la serie de Fourier en su versión exponencial. Sin embargo, tal situación esignorada en este texto, y ello por dos motivos. Por una parte, a raíz de lo expuesto el lector interesado puede deducir fácilmente cómo efectuar la representación correspondiente.
Por otro lado, consideramos que la versión trigonométrica, en la que únicamente
existen frecuencias positivas en el desarrollo en serie, es más ajustada a la realidad física que la serie de términos exponenciales, queincluye frecuencias negativas. El primer apartado se completa con la indicación acerca de cómo reconstruir una señal periódica a partir de una serie de Fourier de términos trigonométricos.
El segundo apartado se refiere a la representación del módulo de una función descrita
mediante su transformada de Fourier y a cómo calcular la energía de la señal correspondiente de acuerdo con el teorema deParceval.
La sección se completa, como las dos anteriores, con algunos ejercicios propuestos que
el lector puede intentar resolver para comprobar el grado en el que ha asimilado los contenidos de aquélla.

Espectros y reconstrucción de una señal

A lo largo de este apartado nos referiremos a la rutina que vamos a presentar a continuación y a los resultados que proporciona.
%%%%% COEFICIENTESDE LA SERIE DE FOURIER %%%%%
clear all; % Elimina variables utilizadas en otras rutinas
% Número de términos de la serie (entero, > 0), excluido av
n = 8;
k = 1: n;
% Coeficientes de la serie (expresiones algebraicas en función de k)
av = 7*pi; % (constante real)
ak = (6./k).*sin((4/3)*pi*k); bk = (6./k).*(1 - cos((4/3)*pi*k));

% Periodo de la función (> 0)
T0 = 0.12566;
%Número de periodos a representar (entero, > 0)
np = 4;
% Base de tiempos
tinicial = 0; % Instante inicial del primer periodo
inicial = tinicial - (np/2)*T0; final = - inicial; puntos = 1000;
t = linspace (inicial, final, puntos);
% Cálculo de módulos y fases
A = sqrt(ak.^2 + bk.^2); fase = atan2(bk, ak);
% Representación de módulos
subplot (3, 1, 1);
stem (0, av);
grid on;
xlabel('Componente', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);
ylabel ('Módulo', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);
axis ([-0.5, n+0.5, -0.2*max(A), (3/2)*max(max(A), av)]);
hold on;
stem (k, A(k));
title ('Componentes de Fourier', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 24);
% Representación de fases
subplot (3, 1, 2);
stem (k, (180/pi)*fase(k));
grid on;
xlabel ('Componente', 'FontName', 'Times','Fontsize', 14);
ylabel ('Fase (º)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);
axis ([-0.5, n+0.5, -(3/2)*abs(min((180/pi)*fase)), (3/2)*abs(max((180/pi)*fase))]);
% Señal reconstruida
subplot (3, 1, 3);
senyal = av;
k = 1;
while k<=n
senyal = senyal + A(k)*cos((2*pi*k/T0)*t + fase(k));
k = k + 1;
end
plot (t, senyal, 'b', 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel ('Tiempo (s)', 'FontName', 'Times','Fontsize', 14);
ylabel ('Señal', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14);
axis ([inicial, final, -(3/2)*abs(min(senyal)), (3/2)*abs(max(senyal))]);
clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta rutina
Como puede observarse, el usuario ha de facilitar los siguientes datos:
-Las expresiones matemáticas que definen el valor medio (av) o término inicial de la
serie y los coeficientes del...