Matematicas unidad 5

2.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN N

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variableindependiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada de lavariable independiente , es decir, ,  es la derivada de  con respecto a .
La expresión 
es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo medianteun método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).


2.2 PROBLEMA DEL VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden  y de  condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus  primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Esdecir
 Es decir




Ejemplo 
Una partícula  se mueve a lo largo del eje  de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo  está dada por . Encuentre la posición  de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en  y está viajando a una velocidad de .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivadala aceleración. De donde el problema de valor inicial sería




Integrando con respecto a  obtenemos




y usando la condición  podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo  sería




Integrando de nuevo




y usando la condición  podemos determinar que  y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo 




En la figura 7 se muestra la gráficade la posición de la partícula versus tiempo.
 
 
Figura 7
 
Ejemplo
Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto  está dada por . ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto  ?
El problema de valor inicial asociado es




Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar




Y usando lacondición inicial  obtenemos que , con lo cual la curva buscada es , la cual se muestra en la figura 8.

 
Figura 8

2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN ÚNICA

En este capıtulo nos centraremos en las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma:
y0(x) = f(x, y(x)) , x 2 [a, b]
Con la condición inicial y(a) = y0. En primer lugar, haremos un repaso de las condiciones bajo lascuales las ecuaciones diferenciales del tipo (1) tienen solución, que sea ´única, y además que la solución dependa continuamente de los parámetros de entrada (en este caso f(x, y) e y0).
La existencia y unicidad de la solución la tenemos garantizada por el siguiente teorema, que enunciaremos sin demostración. En primer lugar supondremos que f(x, y) está definida en la región R  R2 dada por R ={(x, y) 2 R2 / x 2 [a, b], y 2 R}.
 
Teorema: Sea f(x, y) una función continua de x e y, para todo (x, y) 2 R. Si la función f(x, y) es Lipschitziana respecto a la segunda variable, es decir, si:
|f(x, y) − f(x, y0)| _ L|y − y0| , 8(x, y), (x, y0) 2 R,    
Para alguna constante L  0, entonces existe una ´única función y(x) que satisface la ecuación diferencial y0(x) = f(x, y(x)) en [a, b] con...