MATES TEORIA

Miquel Llabr´s
e
EUSS
UAB
c 2013

´
Index
1 Matrius i sistemes d’equacions
1.1 Definici´ i notacions . . . . . . . . .
o
1.2 Transposici´ de matrius . . . . . . .
o
1.3 Matrius quadrades . . . . . . . . . .
1.4 Suma i producte de matrius . . . . .
1.5 Matrius invertibles . . . . . . . . . .
1.6 Transformacions elementals . . . . .
1.7 Matrius esglaonades . . . . . . . . .
1.8Determinants . . . . . . . . . . . . .
1.9 Sistemes d’equacions lineals . . . . .
1.10 Sistemes homogenis . . . . . . . . . .
1.11 Sistemes en forma matricial . . . . .
1.12 Valors propis d’una matriu quadrada.
Direccions principals . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
3
4
8
9
20
23
32
33
34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

.
.
.
.
..
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Nombres complexos
2.1 Construcci´ del conjunt dels nombres complexos
o
2.2 Interpretaci´ geom`trica . . . . . . . . . . . . .
o
e
2.3 Relaci´ coordenades polars-cartesianes . . . . .
o
2.4Conjugat i divisi´ de complexos . . . . . . . . .
o
2.5 Exponencial complexa . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Arrels de la unitat. Arrels d’un complex . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

43
43
46
47
49
50
51

3 C`lcul de primitives
a
3.1 Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Noci´ de primitiva. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.3 C`lcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

54
54
58
58

4 Equacions diferencials
4.1 Noci´ d’equaci´ diferencial . . . . . . . . . . .
o
o
4.2 Equacions diferencials de primer ordre . . . .
4.3 Equacions diferencials lineals d’ordre arbitrari
4.4 E D lineals homog`nies acoeficients constants
e
4.5 M`tode dels coeficients indeterminats . . . . .
e

68
68
69
73
75
79

i

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
..
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

Cap´
ıtol 1
Matrius i sistemes d’equacions
1.1

Definici´ i notacions
o

Encara que hi ha diverses maneres de definir el que ´s una matriu, es podria dir que
e
Una matriusobre K ´s un conjunt d’elements de K ordenats de manera bidimensioe
nal, aix` ´s, disposats en els v`rtex d’una graella de files i columnes.
oe
e
El conjunt K ser` habitualment el dels reals, R, encara que en alguna ocasi´ tamb´ pot
a
o
e
representar un altre conjunt d’escalars com poden ser els complexos C.
Per representar la totalitat dels elements d’una matriu s’utilitzen,generalment, lletres
maj´scules (A, B, M , P ,...) i, llavors, per fer refer`ncia a un element determinat de la
u
e
matriu, anomenat tamb´ coeficient, es posa la lletra que representa aquesta matriu amb
e
uns ´
ındex que indiquen la fila i la columna que ocupa l’element. Per` la manera de posar
o
aquests ´
ındex no ´s unica; aix´ si la matriu es denota per A l’element que ocupa la fila i,
e ´
ı,...