Matrices Determinantes

1. ¿Qué es una matriz?

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo, es decir, Se puede definir como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le quitemos lacuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis





Y ya tenemos una matriz de las que se utilizan habitualmente en matemáticas.

2. Tipo de matrices.

2.1. Cuadrada:

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

De manera que, en general, cuando se habla de una matriz m×n se está haciendo referencia a una matriz que tiene m filas y n columnas. Esta forma de referirse alas matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro.

Según esto una matriz m×n será cuadrada cuando m=n.

Ejemplo:







2.2. Rectangular:

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Ejemplo:




2.3. Diagonal:
Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros.

Ejemplo:2.4. Unitaria:
Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:



donde  es la matriz identidad y  es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada .

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matrizortogonal.

Ejemplo:





Algunas de las características de las matrices unitarias son que sus columnas constituyen una base ortonormal del espacio Cn. Además las matrices unitarias se caracterizan por conservar el producto interno. Esto quiere decir que al hacer (Ux,Uy)=(x,y). Con esto podemos llegar a la conclusión de que las matrices unitarias conservan la norma, ya que hacer (Ux,Ux)=(x,x).

Además deestas importantes propiedades, los autovalores de las matrices unitarias tienen norma igual a 1. Es decir que si trabajamos con reales, los autovalores pueden ser 1 y -1, mientras que si trabajamos con complejos también se agregan i y -i.

2.5. Ampliada:

La matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.
Sean lasmatrices  y , donde





Entonces la matriz aumentada  se representa de la siguiente manera:





Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

2.6. Triangular superior:

Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:
Ejemplo:





2.7. Transpuesta:

Matriztraspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.
Para una matriz , se define la matriz transpuesta de , denotada por ,como .


Es decir, las filas de la matriz  corresponden a las columnas de  y viceversa.





3. Signos de una matriz (3x3) para calcular por factores o menores.Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
 =

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 –
− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

4.Signos de una matriz (4x4) para calcular por factores o menores.

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:
1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe...