matrices y curiosidades

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 18
MATRICES. ALGEBRA DE MATRICES. APLICACIONES AL CAMPO DE LAS
CIENCIAS SOCIALES Y DE LA NATURALEZA.

1. Introducción.
2. Concepto básicos.
2.1. Tipos de matrices.
3. Mmxn (K) es isomorfo a L(K m, Kn ).
4. El Espacio Vectorial Mmxn (K).
4.1. Suma de Matrices.
4.2. Producto de Una Matriz por un escalar.
4.3. El espacio VectorialMmxn (K).
5. El Anillo Mn (K).
5.1. Producto de Matrices.
5.2. El Anillo Mn (K).
6. Producto de Matrices generalizado.
7. Matrices Regulares.
8. Transposición de Matrices.
9. Matrices Simétricas y Hemisimétricas.
10. Rango de una Matriz.
11. Aplicaciones de las Matrices.
11.1. Uso de las Matrices en las Ciencias Psico-sociales.
11.2. Aplicaciones de las matrices al campo de las Ciencias.11.3. Aplicaciones de las matrices al campo de las Ciencias Sociales y de la
Naturaleza.
Bibliografía Recomendada.

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TEMA 18
MATRICES. ALGEBRA DE MATRICES. APLICACIONES AL CAMPO DE LAS
CIENCIAS SOCIALES Y DE LA NATURALEZA.

1. INTRODUCCIÓN.
En este tema vamos a definir el concepto de matriz y operaciones básicas entre ellas.
Los coeficientes de las matrices consideraremos quepertenecen a un cuerpo que
denotaremos por K. Muchas de las propiedades y definiciones que aparecerán en el
tema son válidas si en lugar de trabajar con un cuerpo, lo hacemos con un anillo.
Definiremos la noció n de una matriz en relación con la existencia de matrices
inversas. También estableceremos una correspondencia entre las matrices y los
homomorfismos entre espacios vectoriales.
2.CONCEPTOS BÁSICOS.
DEF Una matriz con coeficientes en K es una familia de elementos de K, (aij )(i , j )∈ IxJ ,
siendo I y J conjuntos finitos. El elemento aij de K corresponde con el elemento
(i, j)∈IxJ.
Si I = {1,...., m} y J = (1,...., n) se suele denotar una matriz por

(a )

ij 1≤i ≤m
1≤ j ≤n

Si m = n

(a )

ij 1≤i , j ≤n

También se usa la notación
 a11

 a21
Λ

a m1
La familia

(a )

ij 1≤i ≤m

(a )

ij 1≤ j ≤n

a12

Λ

a22

Λ

Λ

Λ

am 2

Λ

a1 n 

a 2n 
Λ 

amn 


con i fijo se llama fila i-ésima de la matriz, y la familia

con j fijo se llama columna j-ésima de la matriz.

Los elementos de cualquier fila i-ésima se corresponden con un vector de Kn .
Análogamente, los elementos de cualquier columna j-ésimase corresponden con un
vector de Km. Los primeros se conocen como vectores fila y los segundos como
vectores columna.

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DEF

Llamaremos matriz de orden m x n a toda matriz de forma

(a )

.

ij 1≤i ≤m
1≤ j ≤n

DEF Llamaremos M (K) al conjunto de todas las matrices de orden mxn con
mxn
coeficientes en K. Se suelen denotar por letras mayúsculas, A = (aij )1≤i ≤ m .
1≤ j ≤ n2.1. Tipos de Matrices.
DEF

Llamaremos matriz columna a toda matriz de orden mx1.

DEF

Llamaremos matriz Fila a toda matriz de orden 1xn.

DEF

Llamaremos matriz Nula a aquella que tiene todos sus elementos nulos.

DEF Llamaremos matriz Cuadrada a la matriz con igual número de filas que de
columnas (Card(I) = Card(J).
DEF Llamaremos matriz
aij = a ji ∀(i, j ) ∈ IxJ.
DEFSimétrica

a

toda

matriz

Llamaremos diagonal principal a los elementos aij

cuadrada

que

verifica

1 ≤ i ≤ n de una matriz

cuadrada. La diagonal secundaria está formada por los a ij con i + j = n + 1.
DEF Llamaremos traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos situados a
lo largo de la diagonal principal.
n

Traza ( A) = ∑ aii
i =1

DEF Llamaremos matrizdiagonal a toda matriz simétrica cuyos elementos situados
fuera de la diagonal principal son todos nulos.
DEF Llamaremos matriz escalar a toda matriz diagonal cuyos elementos diagonales
son todos iguales entre si.
DEF Llamaremos matriz identidad a toda matriz escalar cuyos elementos diagonales
son todos iguales a la unidad.
DEF Llamaremos matriz triangular a toda matriz cuadrada que tiene...