matriz

I .- A.) Definición de matriz
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).

I.-B.) Determine en que consiste una matriz:
1. Nula:En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:



2. Cuadrada
Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:



Las matrices cuadradas son las másutilizadas en álgebra.

3. Diagonal
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

Ejemplo:


4. Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.


5. IdénticaEn álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto.
Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo delas dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,



6. Transpuesta
Sea  una matriz con  filas y  columnas. La matriz transpuesta, denotada con  está dada por

En donde el elemento  de la matriz original  se convertirá en el elemento  de la matriztranspuesta .

Ejemplos:



  

II.-A.) Determine en que consiste un determinante.

Para una matriz cuadrada A[n,n], el determinante de A, abreviado det(A), es un escalar definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la matriz, cada uno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada término de la suma está multiplicado por-1 ó +1 dependiendo del número de permutaciones del orden de las columnas que contenga.

Propiedades

det(AB) = det(A)det(B).
det(AT) = det(A).
det(AH) = conjugado(det(A)), en donde AH es la transpuesta conjugada (Hermitian) de A.
det(cA) = cn det(A).
Intercambiando cualquier par de columnas (filas) de una matriz se multiplica su determinante por -1.
Multiplicando cualquier columna(fila) de una matriz por c multiplica su determinante por c.
Agregando cualquier múltiplo de una columna (fila) de una matriz a otra no altera su determinante.
det(A) 0 si y sólo si A es no singular.
 
Determinante de Matrices Simples

det([a,b;c,d]) = ad-bc.
det([a,b,c;d,e,f;g,h,i]) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.
El determinante de una matriz diagonal (pura, superior o inferior) es elproducto de los elementos de su diagonal.
 
Determinante de Bloques de Matrices

B[m,n], C[m,n]: det([A,B;CT,D]) = det([D,CT;B,A])= det(A) det(D-CTA-1B).
B[m,n], C[m,n]: det([I,B;CT,I]) = det(I-BTC) = det(I-BCT) = det(I-CTB)= det(I-CBT).
A[m,m], D[n,n]: det([A,B;0,D]) = det(A) det(D).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; CD=DC: det([A,B;C,D]) = det(AD-BC).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AC=CA:det([A,B;C,D]) = det(AD-CB).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AB=BA: det([A,B;C,D]) = det(DA-CB).
A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; BD=DB: det([A,B;C,D]) = det(DA-BC).










II.-C.) Defina: cofactor, adjunto, menor de una matriz

Cofactor
Se  llama cofactor del elemento  aik  del determinante   D,  al menor   Mik  con el  signo      (-1)i+k  y se denota   Aik,  esto es
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