Maximos Y Minimos

EJERCICIOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PROF. NELSON RIVERA

Calcular los máximos y mínimos de las funciones:
1. f(x) = x3 − 3x + 2
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f''(1) = 6Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
2.

3.

4.

5.

6.

7.

DEFINICIÓNES
Si f es derivable en a, a es un extremorelativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si fy f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Parahallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamosel signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3.Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
En ellos la función no es cóncava ni convexa sino quehay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Estudio de los puntos de inflexión
Calcular los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremoslos siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros dederivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2...