Metodo De Cramer

Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3 Aplicaciones Tema 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales: regla de Cramer
Francisco Palacios Escuela Politécnica Superiror de Ingeniería Manresa Universidad Politécnica de Catalunya Dep. Matemática Aplicada III Abril 2008, versión 1.3

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1.1

Regla de Cramer
Descripción del método
incógnitas x1 , . . . , xn , puede esx1 x2 . . .xn ⎞ ⎛ b1 b2 . . . bm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Un sistema de m ecuaciones lineales con n cribirse matricialmente en la forma ⎛ ⎞⎛ a11 a12 · · · a1n ⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ . ⎟⎜ . .. . . ⎝ . ⎠⎝ . . . . . am1 am2 · · · amn o de forma abreviada donde: • A es la matriz de coeficientes. • x es un vector columna de incógnitas. Ax = b.

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎝

• b es un vector columna de términos independientes.El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

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Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única. Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si ∆ = det A = 0. 6 En ese caso, definimos la matriz Aj como la que se obtiene a partir de A sustituyendo la columna j por elvector b, esto es, si cj es la columna j de A, ⎞ ⎛ a1j ⎜ a2j ⎟ ⎟ ⎜ A = (c1 , c2 , . . . , cn ) , cj = ⎜ . ⎟ , ⎝ . ⎠ . anj entonces la matriz Aj tiene la siguiente estructura Aj = (c1 , c2 , . . . , cj−1 , b, cj+1 , . . . , cn ) . Representamos por ∆j el determinante de Aj ∆j = det Aj = det (c1 , c2 , . . . , cj−1 , b, cj+1 , . . . , cn ) . Entonces la solución del sistema viene dado por ladenominada regla de Cramer ∆1 ∆2 ∆n , x2 = , . . . , xn = . x1 = ∆ ∆ ∆

Ejemplo 1.1 Notación matricial y regla de Cramer. Tomemos por ejemplo el sistema ⎧ ⎨ 2x1 + 3x2 + x3 = 3, x − x2 + x3 = 5, ⎩ 1 x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 3 1 3 x1 ⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 5 ⎠ . x3 0 1 1 −2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor ¯ ¯ ¯ 2 3 1 ¯ ¯ ¯ ∆ = ¯ 1 −1 1 ¯ = −6,¯ ¯ ¯ 0 1 1 ¯ 2

por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Calculamos ¯ ¯ ¯ 3 3 1 ¯ ¯ ¯ ∆1 = ¯ 5 −1 1 ¯ = −24, ¯ ¯ ¯ −2 1 1 ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ∆2 = ¯ 1 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 2 ¯ ∆3 = ¯ 1 ¯ ¯ 0 ¯ 3 1 ¯ ¯ 5 1 ¯ = 9, ¯ −2 1 ¯ ¯ 3 3 ¯ ¯ −1 5 ¯ = 3. ¯ 1 −2 ¯ x3 =

De donde obtenemos la solución del sistema x1 = 4, 3 x2 = − , 2

−1 . 2

1.2

Resolución con la calculadora

El método de Cramer esadecuado para sistemas de pequeña dimensión. En la resolución con la calculadora, emplearemos algunos comandos de manipulación de matrices • DET Calcula el determinante, está en [MATRICES][OPER].

• COL+ Añade una columna a una matriz. • COL- Elimina una columna de una matriz. • CSWP Intercambia dos columnas. Para escribir los comandos [COL+], [COL—] y [CSWP] podemos emplear el soft-menú[MATRICES][CREAT][COL]. Actividad 1.1 Accede al menu de herramientas para matrices1 y localiza los comandos [DET], [COL+], [COL—] y [CSWP]. Vamos a resolver el sistema del ejemplo anterior ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎛ 3 2 3 1 x1 ⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 5 ⎠ , x3 −2 0 1 1 realiza los siguientes pasos.
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Tecla Á[5].

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1. Entra la matriz de coeficientes en la pila, ya sea mediante el editor de matrices2 [MTRW], o biendirectamente en la forma

Después de pulsar ENTER, obtendrás

2. Guarda la matriz de coeficientes con el nombre A. 3. Carga A en la pila y ejecuta DET3 , el resultado es −6. Guarda el valor del determinante con el nombre D. 4. Crea un vector con los términos independientes, y usa el comando [COL+] para formar la matriz ampliada. Para ello carga en Nivel 3 de la pila la matriz A, en el Nivel 2 unvector con los elementos de b y en el Nivel 1 el índice de posición para la nueva columna, en nuestro caso 4

Después de ejecutar [COL+], obtendrás la matriz ampliada.
2 3

Tecla Á(4,3) Puedes obtener el comando DET en [MATRICES][OPER].

4

Guarda esta matriz con el nombre AB. 5. Vamos a calcular ∆1 . Carga la matriz ampliada AB en la pila, carga también los índices de las columnas a...