metodo de muller

Método de Müller.
 
El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método deMüller, trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta  utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola.
 
Para esto necesitaremos de trespuntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La aproximación la podemos escribir como:
 
f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C
 
Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo elsiguiente sistema de ecuaciones.
 f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + C
f2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + C
f2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C
 De la última ecuación podemos ver que elcalor de C = f2(x2). Sustituyendo los valores de C en las otras dos ecuaciones tenemos
 f2(x0)- f2(x2)  = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)
f2(x1) - f2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)
 Si definimos
 h0 = x1 - x0
h1 = x2 – x1
d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]
d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]
 
Sustituyendo en las ecuaciones tenemos
  
-(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )
-d1* h1 =A(h1)2 - Bh1
 
La solución de este sistema de ecuaciones es:
 
A = (d1 – d0)/(h1 + h0)
B = Ah1 + d1
C = f(x2)
 
Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicarla formula general.  Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación alternativa.
 

 







Ejemplo.
 
Use el método de Müller con los valores inícialesde 4.5, 5.5 y 5 para determinar la raíz de la ecuación f(x) = x3 – 13x – 12.
 
x0
x1
x2
f(x0)
f(x1)
f(x2)
x3
4.50000
5.50000
5.00000
20.62500
82.87500
48.00000
3.97649
5.500005.00000
3.97649
82.87500
48.00000
-0.81633
4.00105
5.00000
3.97649
4.00105
48.00000
-0.81633
0.03678
4.00000
3.97649
4.00105
4.00000
-0.81633
0.03678
0.00002
4.00000...