Metodo Lagrange

Aplicaciones económicas del método de variación de
parámetros de Lagrange
(Nota de clase)

Alejo Macaya
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Noviembre 2005

Resumen
El trabajo desarrolla el método de variación de parámetros de
Lagrange para buscar la solución general de una ecuación diferencial
ó en diferencias finitas completa, lineal y de orden n . Seconsideran
algunas extensiones para su aplicación en problemas económicos.

“Sabato: …también en la vida nos movemos hacia ciertos fines
obsesivos. Es la inversa de lo que sucede con los objetos
materiales, con las cosas, que responden a las causas: una bola de
billar sigue la trayectoria que le marca el golpe del jugador: el
presente produce el futuro.
Borges: Si, un mecanismo.
Sabato: Como enlos relojes, el determinismo que va de atrás para
adelante. En el hombre es al revés: se va de adelante para
atrás….”
Diálogos Borges-Sabato

1. Introducción
El método de variación de parámetros o de la constante puede aplicarse para hallar la
solución general de una ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones diferenciales) ó en
diferencias finitas completa, lineal y de orden n ,conocida la solución general de la ecuación
homogénea asociada. El método fue creado por Euler en 1739 y luego generalizado por
Lagrange en 1774 [Bell, 1940].
El trabajo está dividido en dos partes: en la primera se desarrolla el método y tratan
algunas aplicaciones del mismo para el caso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales, mientras en la segunda parte se trata su aplicación enproblemas de ecuaciones
en diferencias finitas.
El interés del trabajo está centrado en resolver modelos económicos mediante este
método. Sin embargo, para introducirlo, se incluyen dos ejemplos matemáticos. El primero,
corresponde a un caso donde también la solución puede encontrarse aplicando el método de
coeficientes indeterminados en tanto el segundo en uno donde éste último falla. Luego setratan algunas aplicaciones del método en modelos económicos. Los casos estudiados
corresponden a ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Para el caso de orden uno
se exponen dos tipos de soluciones. Una donde la solución queda determinada a partir de los
valores pasados del término independiente y del coeficiente que afecta a la función buscada y
otra solución donde los valoresfuturos de dichos términos la determinan. La primera se utiliza
para resolver modelos en donde las expectativas sobre la variable endógena del modelo se
formulan de acuerdo con la hipótesis de expectativas adaptativas en tanto la segunda para
modelos con previsión perfecta (caso determinista de expectativas racionales).
La ecuación de segundo orden sirve para estudiar sistemas de dosecuaciones diferenciales
de primer orden. Por las aplicaciones económicas que resultan, el tipo de punto de equilibrio
que se estudia es el de punto de ensilladura. Los modelos económicos con estas
características, por lo general, combinan la hipótesis de previsión perfecta (donde los valores
de ciertas variables en el futuro gobiernan el comportamiento corriente de la solución) con
alguna hipótesisde ajuste clásica, con cierta condición de equilibrio inicial ó con determinada
condición inicial sobre un stock (y que hacen a la solución depender también del pasado).
También se expone cómo encontrar las soluciones de dos ecuaciones diferenciales de primer
orden.
La segunda parte trata sobre la aplicación del método en ecuaciones en diferencias finitas.
Se realizan algunas aplicacioneseconómicas para ecuaciones de primer y segundo orden. En
el caso de la ecuación de primer orden se tratan los dos casos antes indicados. La ecuación de
segundo orden se desarrolla, al igual que en ecuaciones diferenciales, para el equilibrio de
punto de ensilladura.
Los métodos disponibles para resolver modelos que incluyen la hipótesis de previsión
perfecta son variados, pudiéndose encontrar,...