Metodo lagrange

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyasecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que buscar los extremos condicionados de una función con k restricciones, es equivalente a buscar los extremos sin restricciones de una nueva función construida como una combinación lineal de la función y lasrestricciones, donde los coeficientes de las restricciones son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.
Consideremos un casobidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:
g(x,y) = c,
donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por
f(x,y) = dn
para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivelde f y g serán distintas, y la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta, una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el extremo localrestringido y los puntos de inflexión restringidos de f.
Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.
Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g sonvectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos
[pic][f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0
para λ ≠ 0.
Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.
F(x,y) = f(x,y) − λ(g(x,y) − c)
de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y) para todo (x, y)satisfaciendo la condición porque g(x,y) − c es igual a cero en la restricción, pero los ceros de [pic]F(x, y) están todos en g(x,y) = c.

[editar] El método de los multiplicadores de Lagrange

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
[pic]
Se procede abuscar un extremo para h
[pic]
lo que es equivalente a
[pic]

Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones deKarush-Kuhn-Tucker.

[editar] Ejemplo

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces
[pic]
Evidentemente, la suma de estas probabilidades debe ser exactamente igual a 1, por lo tanto nuestra restricción es g(p) = 1 con
[pic]
Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía...