Metodos De Integracion

CAPITULO 3. Métodos de integración


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Algunas funciones se pueden integrar usando las reglas básicas dadas en el Capitulo 1, o aplicando ciertas reglas llamadas métodos de integración. Existen otras funciones que a pesar de tener primitivas, estas no se pueden hallar usando estos métodos. En este capítulo se estudiarán los métodos de integración más usuales. 3.1 INTEGRACIÓN POR PARTES.Para calcular la integral
x

 cos( x).e .dx no se puede aplicar el método por sustitución, ni expresar la integral en la forma:  cos( x).e .dx   cos( x).dx. e .dx . Recuerde que  f ( x).g ( x).dx  f ( x).dx. g ( x).dx .
x x

Para calcular este tipo de integrales se debe transformar la integral dada en otra que sea más fácil de evaluar, para ello se aplica el método de integración porpartes, el cual se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones: sean u y v funciones continuas de x, tal que sus derivadas son continuas, entonces:

d uv   u.dv  vdu .

(3.1) (3.2)

De allí que.

udv  d uv   vdu

Integrando ambos miembros de ( 3.2 ) resulta:

 udv  uv   vdu

(3.3)

La fórmula (3.3) se conoce con el nombre de fórmula de integración porpartes. OBSERVACIONES: 1) De (3.1) se puede despejar vdu, por lo que la fórmula de

integración por parte sería:

 vdu  uv   udv .

Se acostumbra a usar la fórmula (3.3) usando el método de integración

2) Para calcular una integral de la forma:

 f ( x).g ( x).dx

por partes, se deben elegir u y dv , de tal manera que después de aplicar la fórmula (3.3) la integral

 vdu seafácil de calcular. Además, la obtención de v

a partir de dv debe ser un

trabajo sencillo. 3) Al elegir u y dv se debe tomar en cuenta que el producto udv debe ser igual al elemento de integración de la integral dada. Ejemplo 3.1 Usando el método de integración por partes, halle: Solución: Existen varias opciones para elegir u y dv :

 x.cos( x).dx

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a) u = cos(x)

dv = x.dx

b) u = x

dv = cos(x).dx

c) u =xdx,

dv =cos(x)

Para (a) se tiene : u = cos(x), dv = x.dx entonces: du   sen( x).dx , v  Aplicando la fórmula (3.3):

x . 2
Observe que la

2

 x cos( x)dx 

x2 x2 cos( x)   sen( x)dx . 2 2

integral de la derecha es más “complicada” de evaluar que la integral dada (aumento el exponente de x );por lo que la elección de u y dv no es correcta. b) Con u = x y dv = cos(x) se tiene que: du = dx, v = sen(x) + C1, luego:

 x.cos( x ).dx  x.sen ( x )  C1    sen ( x )  C1 .dx
 xsen ( x )  xC 1   sen ( x ).dx   C1 .dx
 xsen ( x )  xC 1  cos( x )  C1 x  C
de donde:

 x. cos ( x ).dx

 xsen ( x )  cos( x )  C

Note que, la constante de integración C1 , queaparece al calcular v, desaparece durante el proceso, por tanto no es necesario colocarla. c) La elección u =xdx y dv =cos(x), no es correcta, ya que la diferencial dx debe ir como

un factor en la expresión para dv. La habilidad para elegir u y dv se adquiere con la práctica, sin embargo existen algunas recomendaciones útiles, entre ellas se pueden mencionar: 1) 2) En Para

x

n ax

e dx , n N ; hacer u = xn , dv = eax dx

x

n

sen ( ax ) dx ,

x
n

n

cos( ax ) dx , n  N ; hacer u = xn , dv = sen(ax)dx

( o dv = cos(ax)dx , según el caso). 3) En las integrales:

x

Ln ( x ) dx ,

x

n

arctg ( ax ) dx ,

x

n

arcsen ( ax ) dx ,

x
4)

n

ar cos ( ax ) dx , n  N , tomar dv = xndx
a)

y u el resto del integrando.

Para lasintegrales a) u = e
ax

e

ax

cos(bx).dx,
o o

b) eaxsen(bx).dx, tomar:



y dv = cos(bx)dx y dv = sen(bx)dx

b) u = eax

u = cos(bx ) y dv = eaxdx u = sen(bx) y dv = eaxdx

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Lic. Elizabeth Vargas

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Ejemplo 3.2

Calcular

x

2 x

e dx

Solución: Sea u = x2 y dv = exdx, entonces du = 2xdx y v = ex, luego:

x e
La...