Metodos Energeticos

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS

z
Vz
T

N
x

Mz
My
L

Vy
y

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
1

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

9.1.-INTRODUCCIÓN
En los temas precedentes se ha estudiado el cálculo de las tensiones y deformaciones
producidas por las siguientes solicitaciones actuando de formaaislada:
TRACCIÓN-COMPRESIÓN:
•
•

Tensiones normales: σx (N)
Deformaciones: alargamientos o acortamientos: ∆L

FLEXIÓN SIMPLE:
•
•
•
•

Tensiones normales: σx (Mz, My)
Tensiones cortantes: τ (Vy, Vz)
Deformaciones: Giros: θz, θy
Deformaciones: Flechas: y, z

TORSIÓN:
•
•

Tensiones cortantes: τ (T)
Deformaciones: Giros: θx

En este tema se estudiarán las tensiones ydeformaciones que se producirán cuando
actúen a la vez varias de éstas solicitaciones: Tracción + Flexión, Flexión + Torsión,
etc..
Cálculo de las Tensiones:
Se obtendrán aplicando el Principio de Superposición:

σ x = σ x ( N ) + σ x (M z , M y )
τ = τ (V y , Vz ) + τ (T )
(la suma de las tensiones cortantes:τ, será vectorial, pues pueden llevar distintas
direcciones)
Cálculo de lasDeformaciones:
Se pueden obtener a partir del Principio de Superposición, igual que con las tensiones,
o a través de los teoremas energéticos que se verán a continuación:
•
•

2

Teorema de CASTIGLIANO
Teorema de los TRABAJOS VIRTUALES

Sección 9.2.1: Energía de deformación

9.2.-TEOREMAS ENERGÉTICOS
9.2.1.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
La energía de deformación de un elemento estructural sepodrá obtener a partir de las
expresiones dadas en 3.4:
•

Energía de deformación por unidad de volumen:

u=

•

[

]

1
1
2
2
2
2
2
. σ x + σ y + σ z2 − 2.ν .(σ x .σ y + σ y .σ z + σ z .σ x ) +
.(τ xy + τ yz + τ zx )
2 .E
2.G

(9.1)

Energía de deformación:

U = ∫ u.dV

(9.2)

V

Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementosestructurales sometidos a una sola solicitación:

A. TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N
Componentes del estado de tensiones:

z
N

N
x

L

y

N
σy = 0 σz = 0
A
τ xy = 0 τ yz = 0 τ zx = 0

σx =

y llevando estos valores a
las expresiones (9.1) y (9.2):

Fig.9.1

1
1 N
u=
.σ x2 =
. 
2.E
2.E  A 

2

2

L

1 N 
1 N 2 .dx
U = ∫ u.dV = ∫
.
. A.dx = .∫
2.E  A 2 0 E. A

V
L

(9.3)

3

Tema 9: Solicitaciones Combinadas

B. FLEXIÓN SIMPLE:
B1.-Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de
inercia: Izy = 0)
Componentes del estado de tensiones:
z

σx =
Mz

τ xy = 0

x

L

y

τ yz = 0 τ zx = 0

y llevando estos valores a
las expresiones (9.1) y (9.2):

Fig.9.2

1
1  M z .y 
2

u=
.σ x =.
2 .E
2.E  I z 



M z .y
σy = 0 σz = 0
Iz

2

2

L
1  M z .y 
1 M z2 .dx
1 M z2 .dx
2
U = ∫ u.dV = ∫
.
. y .dA = .∫
 ..dV = .∫
2 .E  I z 
2 L E .I z2 ∫
2 0 E .I z
V
V
A

(9.4)

B2.-Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de
inercia: Izy = 0)
Componentes del estado de tensiones:
z

σx =
x
My
L

y

Fig.9.3

L

4τ xy = 0

Iy

σy = 0 σz = 0

τ yz = 0 τ zx = 0

y por un procedimiento análogo al anterior,
llevando estos valores a las expresiones
(9.1) y (9.2) se llegaría a la siguiente
expresión::

2

1 M y .dx
U = .∫
2 0 E .I y

M y .z

(9.5)

Sección 9.2.1: Energía de deformación

B3.-Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de
inercia: Izy = 0)
•Caso de secciones macizas
Componentes del estado de tensiones:
z

x

σx = 0 σy = 0 σz = 0
τ xy =

Vy .Qz ( y )

Vy
L
Fig.9.4

τ yz = 0 τ zx =

t ( y ).I z

Vy .Qz ( z )
t ( z ).I z

y llevando estos valores a
las expresiones (9.1) y (9.2):

y

1
1   Vy .Qz ( y )   Vy .Qz ( z ) 
2
2
.(τ xy + τ zx ) =
. 
u=
 +

2.G
2.G   t ( y ).I z   t ( z ).I z...