Metodos iterativos

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M´todos Iterativos para Ecuaciones no e Lineales
Dr. Oldemar Rodr´ iguez Rojas Setiembre 2001

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Contents
1 M´todos iterativos para ecuaciones no lineales e 1 El m´todo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . e 1.1 Teoremas de convergencia y estudio del error . . 1.2 El m´todo de punto fijo pararesolver ecuaciones e una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 M´todo de la Bisecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 3 Estudio del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M´todo de Newton-Raphson e . . . . . . . . . . . . . 4.1 OBS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M´todo de la Secante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6 An´lisis del error y t´cnicas de acelaraci´n . . . . . . . . a e o . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . v v v x xiv xv xv xv xvi xvii xix

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M´todos iterativos para e ecuaciones no lineales
1 El m´todo de aproximaciones sucesivas e
1.1 Teoremas de convergencia y estudio del error
Teorema 1 Sea U unsubconjunto completo de un espacio normado X y A : U → U una contracci´n. Entonces las aproximaciones sucesivas: o xn+1 = Axx , para n = 0, 1, 2, . . . , con x0 arbitrario en U converge al punto fijo unico x de A. ´ Prueba Sea x0 ∈ U entonces definimos recursivamente la siguiente sucesi´n o en U : xn+1 := Axn , para n = 0, 1, 2, . . . . De donde se tiene que: xn+1 − xn = Axn − Axn−1 ≤ q xn − xn−1 ,luego por inducci´n se deduce que: o xn+1 − xn ≤ q n x1 − x0 , para n = 0, 1, 2, . . . . Por lo tanto para m > n se tiene que: xn − xm ≤ xn − xn+1 + xn+1 − xn+2 + · · · + xm−1 − xm ≤ q +q + ··· + q n q ≤ x1 − x0 . 1−q
n n+1 m−1

(1.1)

x1 − x0

Como q n → 0 cuando n → ∞ entonces (xn ) es una sucesi´n de Cauchy y o como U es completo entonces existe x ∈ U tal que xn → x cuando n → ∞.Corolario 1 [Cota del Error a Priori] Con las mismas hip´tesis del Teoo rema 1 se tiene el siguiente estimado para el error a priori: xn − x ≤ qn x1 − x0 . 1−q

Prueba Es evidente de la desigualdad (1.1).

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1. M´todos iterativos para ecuaciones no lineales e

Corolario 2 [Cota del Error a Posteriori] Con las mismas hip´tesis del o Teorema 1 se tiene el siguiente estimado para el error aposteriori: q xn − x ≤ xn − xn−1 . 1−q Prueba Se deduce del error a priori iniciando con x0 = xn−1 . Teorema 2 [Versi´n 1] Sea D ⊂ R un intervalo cerrado y sea g : D → D o una funci´n continuamente diferenciable con la siguiente propiedad: o q := sup |g (x)| < 1.
x∈D

Entonces la ecuaci´n g(x) = x tiene soluci´n unica x ∈ D y la sucesi´n de o o ´ o aproximaciones sucesivas: xn+1 := g(xn ), para n =0, 1, 2, . . . con x0 arbitrario en D converge a esta soluci´n. Adem´s se tiene el siguiente o a estimado para el error a priori: |xn − x| ≤ qn |x1 − x0 | , 1−q (1.2)

y el siguiente estimado para el error a posteriori: q |xn − x| ≤ |xn − xn−1 | . 1−q Si D = [a, b] entonces se tiene tambi´n la siguiente cota del error: e |xn − x| ≤ q n max{x0 − a, b − x0 }.

(1.3)

(1.4)

Prueba El espacioR equipado de la norma valor absoluto | · | es un espacio de Banach. Por el teorema del valor medio, para todo x, y ∈ D con x < y se tiene que: g(x) − g(y) = g (ξ)(x − y) para alg´n punto ξ ∈]x, y[. Por lo tanto: u |g(x) − g(y)| ≤ sup |g (ξ)| · |x − y| = q |x − y| ,
ξ∈D

lo cual tambi´n es v´lido para x, y ∈ D con x ≥ y. Por lo tanto g es una e a contracci´n, luego aplicando el Teorema deBanach o el Teorema 1 se tiene o la existencia y unicidad del punto fijo. De los corolarios 1 y 2 se tienen ´ obviamente las desigualdades (1.2) y (1.3). Para probar la cota del error (1.4) note que: |xn − x| ≤ = ≤ ≤ ≤ |g(xn−1 ) − g(x)| = |g (ξ 1 )| · |xn−1 − x| ≤ q |xn−1 − x| q |g(xn−2 ) − g(x)| = |g (ξ 2 )| · |xn−2 − x| ≤ q 2 |xn−2 − x| ··· q n |x0 − x| q n max{x0 − a, b − x0 }.

1. M´todos...