Minimos y Maximos

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

INDICE

* Objetivos ………………………………………………………………..3
* Introducción……………………………………………………………..4
* Definición Concavidad...……………………………………………....5
* Definición Punto De Inflexión…….…………………………………..6
* Teoremas………………………………………………………………...7
* Máximos y Mínimos...………………………………………………….12
* Métodos para calcular máximos y mínimos de unafunción……...13
* Ejercicios De Aplicación……………………………………………….15
* Conclusión………………………………………………………………18
* Fuentes de Información.................……………………………………19

OBJETIVOS |
* Utilizar los criterios ya vistos en clase de primera y segunda derivada para obtener la grafica de las funciones. y conceptos propuestos. * Desarrollar habilidades en la aplicación de la derivación para el trazado degraficas. |
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INTRODUCCIÓN

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.
Una función tiene un máximo relativo  en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes(alturas) de los puntos que están alrededor.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.
Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.
Un mínimo se llamaráabsoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Definición

Concavidad.

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

|     | La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, lagráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a. |

F presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

|     | La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a. |

DefiniciónPunto de inflexión.

F presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

|     | En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho dea, f está por debajo de la tangente. |
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|     | En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente. |

Teorema.

Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva, si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dichopunto.

H) f''(a)>0
T) f tiene concavidad positiva en x=a
Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
=> por def. de crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0
signo de g'(x):
- 0 +
-------|-------
a
=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.
=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a)...